ploya定理学习总结#by nobody

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本文介绍了ploya定理及其在计算不同项链数问题中的应用。通过置换群的概念，讨论了旋转和翻转的循环数，并给出了公式 `(1/n * Σ Euler(n/x)(n^x)) % p`，其中`Euler(n/x)`是欧拉函数，用于处理n个珠子，n种颜色，考虑旋转但不考虑翻转的项链数模p的计算。

本小结会不断更新，转载请注明出处：http://blog.youkuaiyun.com/xdu_truth/article/details/8033524

（1）循环:
在一个置换下如果x1->x2,x2->x3,...,xn->x1;
x1,x2,x3,...,xn就形成了一个循环。
（2）ploya定理：
定义ck为在置换ak下的循环总数
设G = {a1,a2,a3,...,a|G|}是N ={1,2,3,...,N}上的置换群，现用m种颜色对着N个点染色，则不同的染色方案数为：
S = (m^c1 + m^c2 + ... + m^c|G|)/|G|
（3）常见置换的循环数：
旋转： n个点顺时针（或逆时针）旋转i个位置的置换，循环数为gcd（n，i）
翻转：
n为偶数时: 对称轴不过顶点：循环数为n/2;
对称轴过顶点：循环数为n/2+1;
n为奇数时：循环数为(n+1)/2；

pku2409 Let it Bead （公式题）

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0 ? a:gcd(b,a%b);
}


int _pow(int p,int n)
{
    int ret = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret *= p;
        p *= p;
        n /= 2;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n),n|m)
    {
        int ans = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans += _pow(m,gcd(n,i));
        if(n&1)
            ans += n*_pow(m,(n+1)/2);
        else ans += (n/2)*_pow(m,n/2)+(n/2)*_pow(m,n/2+1);
        ans /= (2*n);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

另外POJ上还有个公式题http://poj.org/problem?id=1286
这个题注意项链珠数为0的情形，之前一直RE，把我恶心到了。

----------------------------------------------------我是华丽的分割线---------------------------------------------------

pku2154 Color
题意：给出两个整数n和p，代表n个珠子，n种颜色，要求不同的项链数（旋转重合算同一种，翻转重合不算同一种），并对结果mod（p）处理。
不错的一个数学题，
根据ploya定理，结果为：(1/n * ∑n^gcd(n，i)) % p (i=1,..,n)
但是n<=1000000000，显然这个公式需要化简一下。
gcd（n,i）的所有取值是n的所有约数，所以对于某个约数x，我们考虑n^x系数：
由于gcd（n，i） = x ，
那么gcd（n/x,i/x） = 1,
所以系数即为所有满足上式的i的个数，即欧拉函数 euler（n/x）;
这样公式就化简为了： (1/n * ∑Euler(n/x)(n^x)) % p （x为n的所有约数）

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,mod;
int powmod(int p,int m)
{
    int ret = 1;
    while(m)
    {
        if(m&1)ret=(ret * p)%mod;
        p = (p*p)%mod;
        m >>= 1;
    }
    return ret;
}
int euler(int x)
{
    int res = x;
    for(int i=2;i<(int)sqrt(x*1.0)+1;i++)
    {
        if(x%i == 0)
        {
            res = res/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)res = res/x*(x-1);
    return res%mod;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int cases;
    scanf("%d",&cases);
    while(cases-- && scanf("%d%d",&n,&mod))
    {
        int ans = 0;
        for(int x=1;x*x<=n;x++)
        {
            if(n%x==0)
            {
                ans = (ans+euler(n/x)*powmod(n%mod,x-1))%mod;
                if(n/x != x)ans = (ans+euler(x)*powmod(n%mod,n/x-1))%mod;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}