POJ 1655 - DP 树的重心，经典 #P

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本文介绍了一种高效求解树的重心的经典DP算法，并通过一个具体题目POJ1655来展示如何仅用一次深度优先搜索（DFS）就能找到使树平衡的最佳节点。

POJ 1655 - DP 树的重心，经典 #P

题意：求树的重心。

树的重心：删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。

重心的意义，在对树进行分治的时候可以避免N^2的极端复杂度（从退化链的一端出发），保证NlogN的复杂度。

解法：

一开始想到的是模仿求树的直径那样子去Dp，两次DFS。

son[i] - 结点i的儿子结点数目

第一遍求出son；

h[i] - 结点i向上的结点数目

h[i] = h[k] + son[k] - son[i] - 1；

blance = max(son[j] , h[i])

第二遍求出h，和blance；

后来去看题解，才发现有更简单的方法。

应用一个性质，h[i] = n - son[i] -1；

blance = max(son[j] , n - son[i] -1)；

这样只需要一次DFS。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#define OP(s) cout<<#s<<"="<<s<<" ";
#define PP(s) cout<<#s<<"="<<s<<endl;
using namespace std;
int n;
vector <int> adj[20010];

int son[20010];
bool vd[20010];
int ans,asize = 1<<29;
void DFS(int s)
{
    vd[s] = 1;
    son[s] = 0;
    int blance = 0;
    int size = adj[s].size();
    for (int j = 0;j < size;j++)
    {
        int u = adj[s][j];
        if (vd[u]) continue;
        DFS(u);
        son[s] += son[u]+1;
        blance = max(blance,son[u]+1);
    }
    blance = max(blance,n - son[s] - 1);
    if (blance < asize || blance == asize && s < ans)
        ans = s,asize = blance;
}

int main()
{
//    freopen("test.txt","r",stdin);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for (int i = 1;i <= n;i++) adj[i].clear();
        for (int i = 1;i <= n-1;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            adj[u].push_back(v);
            adj[v].push_back(u);
        }

        memset(vd,0,sizeof(vd));
        asize = 1<<29;
        DFS(1);
        cout<<ans<<" "<<asize<<endl;
    }

    return 0;
}