树状数组（区间修改，区间查询）

本题链接：用户登录

题目：

样例：

输入

5 5 1 2 3 4 5 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 1 5 1 2 1 5

输出

3 8 22

思路：

        树状数组的区间修改，区间查询，操作起来有点繁琐了些，但还是可以理解的。

这里区间修改，我们还是需要需要通过差分来进行区间修改的。

不同的是，在于区间查询这一块。

我们先模拟一遍区间修改后，差分数组 dif，原数组 a

得：                差分数组的前缀和，就是获得当前原数组的数值

dif[1] = a[1]
dif[2] = a[2] - a[1]
dif[3] = a[3] - a[2]
dif[4] = a[4] - a[3]
...
...
dif[n] = a[n] - a[n-1]

而我们需要求的是区间和，所以当我们设前缀和数组为 sum可知

sum[1] = dif[1];
sum[2] = (dif[2] + dif[1]) + sum[1];
sum[3] = (dif[3] + dif[2] + dif[1]) + sum[2];
sum[4] = (dif[4] + dif[3] + dif[2] + dif[1]) + sum[3];
...
sum[n] = (dif[n] + dif[n-1] + ... + dif[1]) + sum[n-1];

所以，当我们区间查询区间求和的时候

可以得出，我们区间求和，相应的差分求和的求和具有一定的规律性。

此时我们将其化为差分，可以得知，减去剩余的 dif[] 随即递增的累乘

difSum[1] = sum[1];
difSum[2] = sum[2] - sum[1];
difSum[3] = sum[3] - sum[2];
difSum[4] = sum[4] - sum[3];
...
difSum[n] = sum[n] - sum[n-1];


difSum[n] = (dif[n] + dif[n - 1] + ... + dif[1])*(n + 1) - 
            (dif[1] * 1 + dif[2] * 2 + ... + dif[n] * n);

所以我们需要两个差分数组来进行区间修改以及区间查询。

一个 dif 为 正常的 (dif[n] + dif[n - 1] + ... + dif[1]) 的前缀和差分数组;

一个 p_dif 为 (dif[1] * 1 + dif[2] * 2 + ... + dif[n] * n)的前缀和差分数组;

还有前缀和函数  sum

最后通过前缀和相减，就可以获得区间和了

操作函数如下：

单点修改

// 单点修改函数 inline void Add_pos(int tr[],int pos,int x) { for(int i = pos;i <= n + 1;i+=lowbit(i)) tr[i] += x; }

前缀求和

// 获取前缀和函数 inline int getSum(int tr[],int pos) { int res = 0; for(int i = pos;i;i-=lowbit(i)) res += tr[i]; return res; }

区间修改

// 区间修改加值 inline void Add_section(int l,int r,int x) { // 差分加值 dif Add_pos(dif,l,x); Add_pos(dif,r+1,-x); // 差分加值 p_dif Add_pos(p_dif,l,l*x); Add_pos(p_dif,r+1,(r+1)*(-x)); }

获取sum前缀和函数

// 获取 Sum 的前缀和 inline int get_difSum(int pos) { // 求 sum 的前缀和函数 return getSum(dif,pos)*(pos + 1) - getSum(p_dif,pos); }

获取区间前缀和

// 获取区间前缀和 inline int Ask_section(int l,int r) { return get_difSum(r) - get_difSum(l-1); }

代码详解如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#define endl '\n'
#define int long long
#define YES puts("YES")
#define NO puts("NO")
#define umap unordered_map
#define All(x) x.begin(),x.end()
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0), cout.tie(0)
using namespace std;
inline int lowbit(int x){return (x&(-x));}	// 定义 lowbit()
const int N = 2e6 + 10;
int n,m;
int dif[N],p_dif[N];	// 定义 dif 原差分数组，减去的剩余差分数组 p_dif

// 单点修改函数
inline void Add_pos(int tr[],int pos,int x)
{
	for(int i = pos;i <= n + 1;i+=lowbit(i)) tr[i] += x;
}

// 获取前缀和函数
inline int getSum(int tr[],int pos)
{
	int res = 0;
	for(int i = pos;i;i-=lowbit(i)) res += tr[i];
	return res;
}

// 区间修改加值
inline void Add_section(int l,int r,int x)
{
	// 差分加值 dif
	Add_pos(dif,l,x);
	Add_pos(dif,r+1,-x);
	
	// 差分加值 p_dif
	Add_pos(p_dif,l,l*x);
	Add_pos(p_dif,r+1,(r+1)*(-x));
}

// 获取 Sum 的前缀和
inline int get_difSum(int pos)
{
	// 求 sum 的前缀和函数
	return getSum(dif,pos)*(pos + 1) - getSum(p_dif,pos);
}

// 获取区间前缀和
inline int Ask_section(int l,int r)
{
	return get_difSum(r) - get_difSum(l-1);
}

inline void solve()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1,r = 0,a,x;i <= n;++i)
	{
		cin >> a;	// 输入原数组 初始值
		x = a - r;	// 获取差分值
		
		Add_pos(dif,i,x);	// 插入差分值
		
		Add_pos(p_dif,i,i*x);	// 插入需减掉的剩余差分值
		
		r = a;	// 记忆化上一个元素
	}
	
	while(m--)
	{
		int op;
		cin >> op;
		if(op == 1)
		{
			int l,r,x;
			cin >> l >> r >> x;
			Add_section(l,r,x);	// 区间修改
		}else
		{
			int l,r;
			cin >> l >> r;
			cout << Ask_section(l,r) << endl;	// 区间查询
		}
	}
}
signed main()
{
//	freopen("a.txt", "r", stdin);
	IOS;
	int _t = 1;
//	cin >> _t;
	while (_t--)
	{
		solve();
	}

	return 0;
}

最后提交：