HDU 5618 分治

最新推荐文章于 2019-04-18 22:43:57 发布

原创最新推荐文章于 2019-04-18 22:43:57 发布 · 902 阅读

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#三维偏序 #分治

本文介绍了一种解决三维偏序问题的有效算法。通过对点按X坐标排序，利用分治法和树状数组优化求解过程，实现了高效计算。文章详细阐述了算法思想，并附带完整代码实现。

题目链接

思路：
题意很简单，经典的三维偏序的问题。

下面以样例作为例子。

因为同时存在三个约束条件，我们可以借鉴控制变量法的思想，通过减少约束条件来快速求解。

首先我们可以对所有点按X坐标从小到大进行排序。

By Downey

因为X坐标已经有序，所以接下来只需要考虑Y,Z坐标的约束条件。

如果此时我们对于每一个点依此向前遍历，复杂度会非常大。
所以我们可以考虑使用分治，二分区间，我们每次只需要考虑：

对于右区间中的每一个点，左区间有多少个点与其满足三位偏序的条件。
然后递归地向下询问求解即可。

而对于上面黑体字的问题，我们可以用类似于求逆序对的方法，用树状数组来求解。
对于样例，首先对区间二分进行标记：
（左区间用方块表示右区间用圆来表示）

这里写图片描述

然后对按Y坐标从小到大的顺序进行排序：（样例比较特殊，没有出现排序后左右区间交叉的情况）

这里写图片描述

然后遍历
将左区间（方块点）的点的Z坐标在树状数组中的相应位置加一。
右区间（圆点）的点（记为Q点）的Z坐标在树状数组中进行查询。（因为此时已经按Y坐标排序，此时被查询到的点（记为P点）一定满足三个条件：
1.P点的X坐标一定比Q点的X坐标小(或等于)且位于左半区间，不然不会被插入到树状数组中。
2.P点的Y坐标一定比Q点的Y坐标小(或等于)，否则遍历到Q点时，P点还没有被插入到树状数组中。
3.P点的Z坐标一定比Q点的Z坐标小(或等于)，否则树状数组查询时是查询不到P点的。

最后注意我们只考虑了按横坐标排序后左边的点对右边的点的影响，如果某右边点与其左边的点坐标完全相同，则没有在上述的考虑范围内。

故我们需要进行预处理两个完全相同点带来的影响，倒着遍历统计前缀和即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int A = 1e5 + 100;
class P{
public:
    int x,y,z,id;
    P(int a=0,int b=0,int c=0,int d=0):x(a),y(b),z(c),id(d){}
}a[A],b[A];
ll Ans[A];
int n,Tree[A];

bool cmp_x(P& p,P &q){
    if(p.x != q.x)  return p.x < q.x;
    if(p.y != q.y)  return p.y < q.y;
    if(p.z != q.z)  return p.z < q.z;
    return p.id < q.id;
}

bool cmp_y(P &p,P &q){
    if(p.y != q.y) return p.y < q.y;
    return p.z < q.z;
}

bool equ(P &p,P &q){
    return (p.x == q.x) && (p.y == q.y) && (p.z == q.z);
}

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

void add(int pos,int val){
    while(pos < A){
        Tree[pos] += val;
        pos += lowbit(pos);
    }
}

int getsum(int pos){
    int res = 0;
    while(pos > 0){
        res += Tree[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return res;
}

void solve(int left,int right){
    if(left >= right) return;

    int mid = (left + right) >> 1;
    int tot = 0;
    for(int i=left ;i<=mid ;i++){
        b[++tot] = P(0,a[i].y,a[i].z,0);
    }
    for(int i=mid+1 ;i<=right;i++){
        b[++tot] = P(0,a[i].y,a[i].z,a[i].id);
    }
    sort(b+1,b+tot+1,cmp_y);

    for(int i=1 ;i<=tot ;i++){
        if(b[i].id == 0){
            add(b[i].z,1);
        }
        else{
            Ans[b[i].id] += getsum(b[i].z);
        }
    }
    for(int i=1 ;i<=tot ;i++){
        if(b[i].id == 0){
            add(b[i].z,-1);
        }
    }

    solve(left,mid);
    solve(mid+1,right);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
      scanf("%d",&n);
      for(int i=1;i<=n ;i++){
        scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
        a[i].id = i;
      }

      memset(Ans,0,sizeof(Ans));
      memset(Tree,0,sizeof(Tree));
      sort(a+1,a+n+1,cmp_x);

      int cnt = 0;
      for(int i=n ;i>=1 ;i--){
        if(equ(a[i],a[i+1])) cnt++;
        else                 cnt=0;
        Ans[a[i].id] += cnt;
      }
      solve(1,n);

      for(int i=1 ;i<=n ;i++){
        printf("%lld\n",Ans[i]);
      }
    }
    return 0;
}