[bzoj4446][Scoi2015]小凸玩密室

题目描述

小凸和小方相约玩密室逃脱，这个密室是一棵有n个节点的完全二叉树，每个节点有一个灯泡。点亮所有灯
泡即可逃出密室。每个灯泡有个权值Ai，每条边也有个权值bi。点亮第1个灯泡不需要花费，之后每点亮4
个新的灯泡V的花费，等于上一个被点亮的灯泡U到这个点V的距离Du,v，乘以这个点的权值Av。在点灯
的过程中，要保证任意时刻所有被点亮的灯泡必须连通，在点亮一个灯泡后必须先点亮其子树所有灯泡才能点亮其他灯泡。请告诉他们，逃出密室的最少花费是多少。

n≤200000 Ai,Bi≤100000

分析

知道如何设状态很重要。
设f[i][j]表示走完i为根的子树然后走到j的代价。很显然这样是过不了的。
考虑修改上面的状态。这要从如何求答案开始想。如果我已经求出了f数组，那么枚举起点，肯定是先走它的子树，然后走到它的父亲，接下来遍历它的父亲的另一个子树，然后走到父亲的父亲，以此类推。
那么可以发现很多状态是没用的。修改：f[i][j]表示走完i为根子树后走到深度为j的祖先的另一个儿子的代价。转移就分先走到左儿子或右儿子来讨论。

然后又设g[i][j]表示表示走完i为根子树后走到深度为j的祖先的代价。转移和上面一样。

由于树高是log(n)的，时间复杂度$O(nlogn)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=200005,M=19;

typedef long long LL;

int n;

LL a[N],b[N],dep[N],dis[N];

LL f[N][M],g[N][M],ans;

char c;

int read()
{
    for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());
    int x=c-48;
        for (c=getchar();c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;
        return x;
}

int main()
{
    n=read();
        for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
        dep[1]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)
        {
            b[i]=read();
            dep[i]=dep[i>>1]+1; dis[i]=dis[i>>1]+b[i];
        }
        for (int i=n;i;i--)
        {
            for (int j=0;j<dep[i];j++)
            {
                int lca=(i>>(dep[i]-j)),x=(i>>(dep[i]-j-1))^1,lt=i<<1;
                    if (lt>n) f[i][j]=(LL)a[x]*(dis[i]+dis[x]-dis[lca]*2);
                    else if (lt==n) f[i][j]=(LL)a[lt]*b[lt]+f[lt][j];
                    else f[i][j]=min((LL)a[lt]*b[lt]+f[lt][dep[i]]+f[lt|1][j],(LL)a[lt|1]*b[lt|1]+f[lt|1][dep[i]]+f[lt][j]);
            }
        }
        for (int i=n;i;i--)
        {
            for (int j=0;j<dep[i];j++)
            {
                int x=i>>(dep[i]-j),lt=i<<1;
                    if (lt>n) g[i][j]=(LL)a[x]*(dis[i]-dis[x]);
                    else if (lt==n) g[i][j]=(LL)a[lt]*b[lt]+g[lt][j];
                    else g[i][j]=min((LL)a[lt]*b[lt]+f[lt][dep[i]]+g[lt|1][j],(LL)a[lt|1]*b[lt|1]+f[lt|1][dep[i]]+g[lt][j]);
            }
        }
        ans=g[1][0];
        for (int i=2;i<=n;i++)
        {
            LL s=g[i][dep[i]-1];
            for (int j=i;j>1;j>>=1)
            {
                int x=j^1,y=j>>1;
                    if (x>n) s+=(LL)a[y>>1]*b[y];
                    else s+=(LL)a[x]*b[x]+g[x][dep[y]-1];
            }
            if (s<ans) ans=s;
        }
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
}