[51nod1370] 排列与操作

题目大意

给你一个n的排列，你可以进行至多k次操作，每次选择一个区间，把区间内所有数赋值为区间的最大值。问最后可以得到多少个不同的序列。答案对$10^9+7$取模。

n,k≤200 数据组数不超过3

挖掘性质

这道题最终得到的序列的一些性质，可以帮助解这道题。
首先，最终序列一定是若干个由相同的数形成的块连在一起，形成很多部分。而且相同的值都是在一个块里面。例如：55668877 是合法的，56568877是不合法的。
另外看操作，由于是**不超过**k次，那么一个操作，即使能分成几个来执行，也不会这样去做，一个值的赋值在一次操作完成。（这样不会造成浪费）例如：12345，给[1,4]赋值为4，变成44445，即使[3,4],[1,2],[1,3]三个操作合在一起是等价的，我们依然不会考虑后者。

DP

开始考虑DP。
设f[i][j][k]表示已经分配好前i个数，当前做到最终序列的第j位，进行了k次操作，方案数是多少。
然后考虑转移：
1. f[i-1][i-1][k]—>f[i][i][k] （第i个数形成大小为1的块，不进行任何操作）
2. f[i-1][j’][k-1]—>f[i][j][k] （第i个数形成一块，在最终序列中占了区间[j’+1,j]，注意j的位置要满足：原排列中j与i之间不存在大于第i个数的数，并且当j=i时j’< j-1（如果占了[i,i]，就会浪费掉一次操作））。
3. f[i-1][j][k]—>f[i][j][k] （第i个数被覆盖掉了，那么它不存在于最终序列中）

其中第二种情况要用前缀和优化。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=205,mo=1e9+7;

typedef long long LL;

int n,m,f[N][N][N],s[N][N][N],a[N],ans,T;

void work()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    a[0]=a[n+1]=n+1;
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(s,0,sizeof(s));
    f[0][0][0]=1;
    for (int j=1;j<=n;j++) s[0][0][j]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l=i,r=i;
        for (;a[l-1]<a[i];l--);
        for (;a[r+1]<a[i];r++);
        for (int j=l;j<=r;j++)
        {
            if (j!=i)
            {
                for (int k=1;k<=min(i,m);k++)
                {
                    f[i][j][k]+=s[i-1][k-1][j]-s[i-1][k-1][l-1];
                    if (f[i][j][k]>=mo) f[i][j][k]-=mo;
                    else if (f[i][j][k]<0) f[i][j][k]+=mo;
                }
            }
            else
            {
                for (int k=0;k<=min(i,m);k++)
                {
                    if (k>0)
                    {
                        f[i][j][k]+=s[i-1][k-1][j-1]-s[i-1][k-1][l-1];
                        if (f[i][j][k]>=mo) f[i][j][k]-=mo;
                        else if (f[i][j][k]<0) f[i][j][k]+=mo;
                    }
                    f[i][j][k]=(f[i-1][j-1][k]+f[i][j][k])%mo;
                }
            }
        }
        for (int j=0;j<=n;j++) for (int k=0;k<=min(i-1,m);k++) f[i][j][k]=(f[i-1][j][k]+f[i][j][k])%mo;
        for (int k=0;k<=min(i,m);k++)
            for (int j=1;j<=n;j++) s[i][k][j]=(s[i][k][j-1]+f[i][j-1][k])%mo;
    }
    ans=0;
    for (int i=0;i<=m;i++) ans=(ans+f[n][n][i])%mo;
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    for (scanf("%d",&T);T--;work());
    return 0;
}