CF1916D Mathematical Problem

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原创最新推荐文章于 2026-11-09 09:29:43 发布 1.5k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

5个4000比特大状态置换算法的设计与分析下面是 5 个概念性、实验性的 4000 位可逆置换设计。它们都保证是双射，但未经过密码分析，不可直接用于生产系统。风格分别覆盖：三维 SPN、Feistel、可逆元胞自动机、ARX、宽轨迹/Keccak 式结构。这 5 个设计分别代表了 SPN、Feistel、元胞自动机、ARX、宽轨迹 Keccak 五种不同风格，覆盖了主流大状态置换的构造思路。再次强调：它们只是实验性概念，若要用于实际协议，必须经过严格安全性分析。阅读详情

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思路

很不错的人类智慧题。

拿到以后，完全没有思路，看到数据范围，感觉是什么 $n^2\log n$ 的逆天做法，但是又完全没思路，看后面的题感觉没希望，就在这道题死磕。

先打了个暴力程序，发现平方数太多，没什么规律，就拿了个 map 统计一下那些出现数字方案拥有的平方数比较多

程序如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
multiset<int>s;
map<multiset<int>,int>mp;
int main()
{
	for(int i=1;i<=200000;++i)
	{
		long long k=1ll*i*i;
		if(k<100000000) continue;//此程序是九位数的情况，想试其他情况的就改这里的值即可
		if(k>999999999) break;
		while(k) s.insert(k%10),k/=10;
		++mp[s],s.clear();
	}
	for(auto i:mp)
	{
		if(i.second>=9)//这里也要改
		{
			for(auto j:i.first)
			{
				cout<<j<<" ";
			}
			puts("");
		}
	}
	return 0;
}

先试一试五位数的情况，发现下面的数字组合都可以存在五个以上的平方数，除了样例给的还有一组。

0 0 1 6 9
1 3 4 6 8

再试一试七位数的情况，发现符合条件的数字组合更多了。

0 0 0 0 1 6 9
0 0 1 3 4 6 8
0 1 2 4 5 6 9
0 1 4 5 6 7 8
1 2 3 4 4 5 6
1 2 3 4 4 8 9

一看，发现了一个很重要的规律，都有 $\cdots ~0 ~1 ~6 ~9$ 。

所以猜测所有情况都可以由若干个 $0$ 和 $169$ 构成。

再试一试九位数，发现也是如此。

于是，改了改暴力程序，让程序输出符合条件的平方数，如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
multiset<int>s;
map<multiset<int>,int>mp;
int main()
{
	multiset<int>tmp;
	tmp.insert(0),tmp.insert(0),tmp.insert(0),tmp.insert(0),tmp.insert(0),tmp.insert(0),tmp.insert(1),tmp.insert(6),tmp.insert(9);//同样是九位数的程序，其他情况注意更改参数
	for(int i=1;i<=200000;++i)
	{
		long long k=1ll*i*i;
		if(k<100000000) continue;
		if(k>999999999) break;
		while(k) s.insert(k%10),k/=10;
		if(s==tmp) printf("%lld\n",1ll*i*i);
		s.clear();
	}
	return 0;
}

先试一试五位数的，发现程序给的是：

研究了一下，发现首先又 $1690\cdots$ 、 $1960\cdots$ 和 $9610\cdots$ ，这三个很显然，都是 $169$ 、 $196$ 和 $961$ 乘以了 $10^k$ ，其中 $k$ 为偶数，所以一定是平方数。

剩下的就是 $10\cdots60\cdots90\cdots$ ，也就是 $169$ 的 $1$ 与 $6$ 之间和 $6$ 与 $9$ 之间插入相同数量的零，再在后面放若干个零构成的，首先因为插入的零是偶数，并且总数字个数是奇数，再加上有 $169$ 三个数字，所以后面的零一定是偶数个，所以后面加的一定正确，只需要验证 $10\cdots60\cdots9$ 是否一定正确即可，发现就是 $10\cdots3$ 的平方，所以一定正确。

那么同理 $961$ 的 $1$ 与 $6$ 之间和 $6$ 与 $9$ 之间插入相同数量的零，再在后面放若干个零构成的数也一定是平方数，也是正确的。

使用暴力程序在七位数和九位数验证，发现是正确的。

再计算一下我们发现了多少个平方数了，在其中插入的零可以是 $[0,\frac{n-1}2-1]$ 个，一共有 $\frac{n-1}2$ 个， $169$ 和 $961$ 都可以，一共有 $n - 1$ 个，再加上 $1960\cdots$ 的一个，刚好 $n$ 个。

其实发现还有形如 $61009$ 之类的数也满足条件，但是我们已经不需要了。

根据上面发现的构造方案可以很轻松的写出程序。

AC code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long T,n,a,sum,num;
int main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		if(n==1){puts("1");continue;}//注意特判n=1
		printf("169");
		for(int i=4;i<=n;++i) printf("0");
		puts("");
		printf("961");
		for(int i=4;i<=n;++i) printf("0");
		puts("");
		printf("196");
		for(int i=4;i<=n;++i) printf("0");
		puts("");
		for(int i=1;i<n/2;++i)
		{
			printf("1");
			for(int j=1;j<=i;++j) printf("0");
			printf("6");
			for(int j=1;j<=i;++j) printf("0");
			printf("9");
			for(int j=3+2*i;j<n;++j) printf("0");
			puts("");
			printf("9");
			for(int j=1;j<=i;++j) printf("0");
			printf("6");
			for(int j=1;j<=i;++j) printf("0");
			printf("1");
			for(int j=3+2*i;j<n;++j) printf("0");
			puts("");
		}
	}
	return 0;
}