《夜深人静写算法》数论篇 - (01) 整除

前言

    数论研究的是整数的性质，那么最基础的性质就是整除了，所以我们先来了解下整除的性质。

一、整除性

    若 $a$ 和 $b$ 都为整数， $a$ 整除 $b$ 是指 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的约数（或者叫 因数、因子），记为 $a|b$。整除的大部分性质都是显而易见的，为了阐述方便，我给这些性质都起了个名字。

1、任意性

    若 $a|b$，则对于任意非零整数 $m$，有 $am|bm$ 。

2、传递性

    若 $a|b$ 且 $b|c$ ，则 $a|c$ 。

3、可消性

    若 $a|bc$ 且 $a$ 和 $c$ 互素（互素即两者没有大于一的公共因子），则 $a|b$ 。

4、组合性

    若 $c|a$ 且 $c|b$，则对于任意整数 $m、n$，有 $c|(ma+nb)$ 。

二、常见数的整除特性

1、0的特性

    0 是任何非零整数的倍数，对于任意非零整数 $a$，必然有 $a|0$。

2、1的特性

    对于任何整数 $a$，总有 $1|a$。

3、能被 2 整除的数的特征

    若整数 $a$ 的末位是 $0$、$2$、$4$、$6$ 或 $8$，则 $a$ 能被 $2$ 整除。

4、能被 3 整除的数的特征

    若整数 $a$ 的数字和能被 $3$ 整除，则 $a$ 能被 $3$ 整除。

5、能被 4 整除的数的特征

    若整数 $a$ 的末尾两位数能被 $4$ 整除，则 $a$ 能被 $4$ 整除。

6、能被 5 整除的数的特征

    若整数 $a$ 的末位是 $0$ 或 $5$，则 $a$ 能被 $5$ 整除。

7、能被 6 整除的数的特征

    若整数 $a$ 能被 $2$ 和 $3$ 整除，则 $a$ 能被 $6$ 整除。

三、例题解析

$x，y，z$ 均为整数，若 $11|(7x+2y-5z)$，求证：$11|(3x-7y+12z)$。

    为了描述方便，令：$$a=(7x+2y-5z),b=(3x-7y+12z)$$
    通过构造，可以得到一个等式：$$3a+4b=11\ast (3x-2y+3z)$$
    根据任意性 + 组合性，得出：$$11|(11\ast (3x-2y+3z)-3a)=11|4b$$
    然后根据可消性，由于 $11$ 和 $4$ 互素，得出 $11|b$，证明完毕。

四、思考题

    能被 $7$ 整除的数应该满足什么性质？
    能被 $8$ 整除的数应该满足什么性质？
    能被 $9$ 整除的数应该满足什么性质？