[51nod 1327]棋盘游戏

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本文探讨了一个关于在N*M的棋盘上放置棋子的问题，需满足特定条件：每行左侧和右侧指定格子中恰有一个棋子，且每列最多一个棋子。采用动态规划方法求解不同放置方案的数量。

题目描述

有一个N行M列的棋盘，即该棋盘被分为N*M格。现在向棋盘中放棋子，每个格子中最多放一个棋子，也可以一个不放。放完棋子后需要满足如下要求：
1）对于第i行来说，其从左往右的前left[i] 个格子（即最左侧的left[i] 个连续的格子）中恰好一共有1个棋子；
2）对于第i行来说，其从右往左的前right[i]个格子（即最右侧的right[i]个连续的格子）中恰好一共有1个棋子；
3）对于每一列来说，这一列上的所有格子内含有的棋子数不得超过1个。
其中，1）与2）条件中，对所有 i 满足 left[i]+right[i] <= M，即两个区间不会相交。
问，符合上述条件情况下棋子的不同放法一共有多少种？输出放法的个数 mod 1,000,000,007后的结果。

DP

只有右会做，设f[i,j]表示做到第i列还有j个right区间没放。
又有左又有右？
规定不能填在left区间内，但是left必须满足，因此每次即将离开一些left时要强行满足它们。
因此设f[i,j,k]表示做到第i列有j列没放还有k个right区间没放。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=200+10,mo=1000000007;
int f[maxn][maxn][maxn],a[maxn],b[maxn],c[maxn],C[maxn][maxn],fac[maxn],left[maxn],right[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,ans;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,n) scanf("%d%d",&left[i],&right[i]);
    fo(i,1,n)
        fo(j,1,m){
            if (j>left[i]&&j<=m-right[i]) a[j]++;
            else if (j==m-right[i]+1) c[j]++;
            else if (j==left[i]) b[j]++;
        }
    C[0][0]=1;
    fo(i,1,m){
        C[i][0]=1;
        fo(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mo;
    }
    fac[0]=1;
    fo(i,1,m) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
    f[0][0][0]=1;
    fo(i,0,m-1)
        fo(j,0,i)
            fo(k,0,n)
                if (f[i][j][k]){
                    if (j+1>=b[i+1])
                        (f[i+1][j+1-b[i+1]][k+c[i+1]]+=(ll)f[i][j][k]*C[j+1][b[i+1]]%mo*fac[b[i+1]]%mo)%=mo;
                    if (j>=b[i+1])
                        (f[i+1][j-b[i+1]][k+c[i+1]]+=(ll)f[i][j][k]*a[i+1]%mo*C[j][b[i+1]]%mo*fac[b[i+1]]%mo)%=mo;
                    if (j>=b[i+1]&&k+c[i+1])
                        (f[i+1][j-b[i+1]][k+c[i+1]-1]+=(ll)f[i][j][k]*(k+c[i+1])%mo*C[j][b[i+1]]%mo*fac[b[i+1]]%mo)%=mo;
                }
    fo(i,0,m)
        ans=(ans+f[m][i][0])%mo;
    printf("%d\n",ans);
}