【51nod1327】棋盘游戏

题意

n×m的棋盘，放棋子，要求第i行左边$l_i$个格子和右边$r_i$个格子各恰好有一个棋子，且每一列最多只能有1个棋子，问方案数，对$10^9+7$取模
$n\le 50,m\le 200$

Solution

这是一道DP好题。
太菜了以至于我想了半天连状态都没想到。
考虑到每一列最多放一个，那么考虑在列上做文章，设$f[i][]$表示做到了第i列……
然后怎么办呢，对于一列，假如一些行左区间到此为止了，那么就一定要将这些行放完，将这些行安排之前没有被放过的列；否则先把它们咕咕了。如果一些行的右区间从这一列开始，那么没有处理完的行就会多出几个。其次你也可以选择填在中间没有覆盖的地方。
如果这么考虑的话，状态就很好想了(可是就是没有这么考虑)
设$f[i][j][k]$表示做到了第i列，在之前有j列没有被放过棋子，有k行已经到了右区间。
记$l_i,r_i,mi{d}_i$分别为左区间右端点为i、右区间左端点为i、i列没有区间覆盖住的行数
每一列的转移要添加$r_{i+1}$的右区间放置机会，要将$l[i+1]$全部搞定。
初状态为$f[0][0][0]=1$
考虑三种转移：

1. 不放在中间空着的，也不放在右区间，那么就要将$l_{i+1}$行安排前面没放棋子的那j列$$f[i+1][j+1-l_{i+1}][k+r_{i+1}]+=f[i][j][k]\ast A_{j+1}^{l_i+1}$$
2. 放在右区间$$f[i+1][j-l_{i+1}][k+r_{i+1}-1]+=f[i][j][k]\ast A_j^{l_{i+1}}\ast (k+r_{i+1})$$
3. 放在中间空着的位置$$f[i+1][j-l_{i+1}][k+r_{i+1}]+=f[i][j][k]\ast A_j^{l_{i+1}}\ast mi{d}_{i+1}$$

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i(a),_E_(b);i<=_E_;++i)
#define REP(i,a,b) for(int i(a),_E_(b);i<_E_;++i)
#define fd(i,a,b) for(int i(a),_E_(b);i>=_E_;--i)
#define ll long long
#define mo 1000000007
#define N 52
#define M 210

using namespace std;

int f[M][M][N],l[M],r[M],mid[M],n,m,p[M][M];

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	fo(i,0,m){
		p[i][0]=1;fo(j,1,i)p[i][j]=1ll*p[i][j-1]*(i-j+1)%mo;
	}
	fo(i,1,n){
		int L,R;scanf("%d %d",&L,&R);
		++l[L];++r[m-R+1];++mid[L+1];--mid[m-R+1];
	}
	fo(i,2,m)mid[i]+=mid[i-1];
	f[0][0][0]=1;
	REP(i,0,m)fo(j,0,i)fo(k,0,n)if(f[i][j][k]){
		if(j+1>=l[i+1])(f[i+1][j+1-l[i+1]][k+r[i+1]]+=1ll*p[j+1][l[i+1]]*f[i][j][k]%mo)%=mo;
		if(j>=l[i+1]&&k+r[i+1])(f[i+1][j-l[i+1]][k-1+r[i+1]]+=1ll*p[j][l[i+1]]*(k+r[i+1])%mo*f[i][j][k]%mo)%=mo;
		if(j>=l[i+1])(f[i+1][j-l[i+1]][k+r[i+1]]+=1ll*p[j][l[i+1]]*mid[i+1]%mo*f[i][j][k]%mo)%=mo;
	}int ans=0;fo(i,0,m)ans=(ans+f[m][i][0])%mo;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}