[OICamp 2016 Day5A]鞍点

题目大意

一个n*m矩形，每个格子的数都在[1,p]，求至少有一个鞍点的矩形个数。(i,j)为鞍点定义为(i,j)的权值在第i行和第j列都严格最大。

DP

我们设f[i,j]表示目前有i个鞍点，鞍点的权值不大于j的矩形个数。
我们把这i行i列摆在一起。
现在枚举权值为j+1的鞍点个数x，那么就是从f[i,j]推到f[i+x,j+1]，选x行选x列的方案$C_{n-i}^x*C_{m-i}^x$，将它们任意排列还有$x!$的方案，然后鞍点所在行列其余部分都只能放<=j，方案为$j^{x*(n-i)+x*(m-i)-x*x-x}$

容斥原理

做完dp后，求答案可以容斥。
因为可以把有i个鞍点看做至少有i个。
所以$ans=\sum_{i=1}^{min(n,m)}(-1)^{i-1}*f[i,p]*p^{(n-i)*(m-i)}$
注意计算过程中所有求幂的我们都可以预处理来消掉log。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2000+10;
int f[maxn][20],c[maxn][maxn],fac[maxn],mi[20][maxn*maxn];
int i,j,k,l,t,x,n,m,p,mo,ans;
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&mo);
    if (n>m) swap(n,m);
    c[0][0]=1;
    fo(i,1,m){
        c[i][0]=1;
        fo(j,1,m) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo;
    }
    fo(i,1,p){
        mi[i][0]=1;
        fo(j,1,n*m) mi[i][j]=(ll)mi[i][j-1]*i%mo;
    }
    mi[0][0]=1;
    fac[0]=1;
    fo(i,1,m) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
    f[0][0]=1;
    fo(i,0,n)
        fo(j,0,p-1)
            fo(x,0,n-i)
                (f[i+x][j+1]+=(ll)f[i][j]*c[n-i][x]%mo*c[m-i][x]%mo*fac[x]%mo*mi[j][x*(n-i)+x*(m-i)-x*x-x]%mo)%=mo;
    fo(i,1,n){
        t=(ll)f[i][p]*mi[p][(n-i)*(m-i)]%mo;
        if (i%2==0) (ans-=t)%=mo;else (ans+=t)%=mo;
    }
    (ans+=mo)%=mo;
    printf("%d\n",ans);
}