[bzoj4635]数论小测验

题目大意

有两个问题：
1、求有多少个长度为n的序列，每个数都在[1,m]，满足gcd(a1……an)=k
2、求有多少个长度为n的序列，每个数都在[1,m]，满足k|lcm(a1……an)
现在给定l和r，求k取[l,r]时回答其中一种问题的答案和。

第一题

我们设f[i]表示k=i时的答案。
显然$f[i]=\lfloor\frac{m}{i}\rfloor^n-\sum_{j=2}^{\lfloor\frac{m}{i}\rfloor}f[i*j]$
倒推f显然会超时啊？
我们如果按照$\lfloor\frac{m}{i}\rfloor$分块，那么发现同一块内的f值其实是相同的。
因此我们只需要计算每一块的f值，求答案时也根据块来优化计算即可。

第二题

质因子不会超过4个。
那好了，我们枚举k，并分解质因数。
接着我们容斥，lcm的意义是指数最大值，因此我们枚举哪些质因子的指数没有达到要求。
于是我们需要解决这个问题：求出m以内有多少数不满足以下约束，每一种约束形如一个质因子的指数不应超过一个数。
这个新的问题同样可以容斥。
例如只有一个约束时，为m-m/p^a
为何？每一个不符合约束的一定含有p^a，其余部分是什么都行。
那么有两个约束时，为(m-m/p^a-m/q^b+m/p^aq^b)
这样你应该知道怎么做了吧？推广到多个约束也一样。
得带可方案数后，显然每个位置的可填数都是这个方案数，n次方即可。

参考程序

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10000000+10,mo=1000000007;
int f[maxn],p[10],a[10],c[10],b[10];
int i,j,k,l,r,t,n,m,ans,ca,top,tot;
int quicksortmi(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=quicksortmi(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
void solve(int x){
    top=0;
    int i;
    fo(i,2,floor(sqrt(x)))
        if (x%i==0){
            p[++top]=i;
            a[top]=0;
            c[top]=1;
            while (x%i==0){
                x/=i;
                a[top]++;
                c[top]*=i;
            }
        }
    if (x>1){
        p[++top]=x;
        c[top]=x;
        a[top]=1;
    }
}
void dg(int x,int f,int y){
    if (x==tot+1){
        (t+=f*(m/y))%=mo;
        return;
    }
    dg(x+1,-f,y*b[x]);
    dg(x+1,f,y);
}
void dfs(int x,int f){
    if (x==top+1){
        int i;
        t=0;
        dg(1,1,1);
        (ans+=f*quicksortmi(t,n))%=mo;
        return;
    }
    b[++tot]=c[x];
    dfs(x+1,-f);
    tot--;
    dfs(x+1,f);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&ca,&t);
    if (t==1){
        while (ca--){
            scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&r);
            fd(i,m,l){
                if (i<m&&m/i==m/(i+1)) f[i]=f[i+1];
                else{
                    f[i]=quicksortmi(m/i,n);
                    fo(j,2,m/i) (f[i]-=f[i*j])%=mo;
                    (f[i]+=mo)%=mo;
                }
            }
            ans=0;
            i=l;
            while (i<=r){
                j=min(m/(m/i),r);
                (ans+=(ll)(j-i+1)*f[i]%mo)%=mo;
                i=j+1;
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    else{
        while (ca--){   
            ans=0;
            scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&r);
            fo(k,l,r){
                solve(k);
                tot=0;
                dfs(1,1);
            }
            (ans+=mo)%=mo;
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
}