染色

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树链剖分

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本文详细介绍了处理树形结构中特定查询问题的一种高效算法——点剖算法，并对比了传统的树剖方法，通过实例解释了如何利用点剖来优化查询效率至仅需一个log的时间复杂度。

题目大意

给定一颗树，每个点默认白色，有两种操作。
把一个点染黑（不保证此时该点为白色）
询问一个点与所有黑点的距离和

树剖

先把原树转化为有根树。
然后询问一个点u，就是枚举每一个黑点v
然后贡献为d[u]+d[v]-2*d[lca(u,v)]
记录黑点的总个数和深度和，前两项很容易求和，最后一项呢？
我们尝试枚举u到root路径上的每一点w，设size[w]表示w是多少个黑点的祖先。
那么贡献为f[w]*size[w]，其中f[i]表示i到父亲的距离。
然后明显可以用树链剖分搞了。

两个log不优美

其实这道题我们可以做到一个log。
考虑点剖：
belong[i,j]表示分治到第j层i属于分治中心的哪个子树内。
d[i,j]表示分治到第j层i到分治中心的距离。
cen[i,j]表示分治到第j层i所属的分治中心。
ans[j]表示j作为分治中心时以其为根的子树内所有黑点到其的距离和。
num[i,j]表示分治到第j层以i为根的子树内所有黑点到分治中心的距离和（i与分治中心有一条边直接相连）
cnt[j]表示j作为分治中心时以其为根的子树内黑点的个数（不考虑分治中心是否为黑点）
sum[i,j]表示分治到第j层以i为根的子树内黑点的个数（i与分治中心有一条边直接相连）
询问操作（询问x到所有黑点的距离和）：
从小到大枚举层数j。
如果在第j层x是分治中心则答案加上ans[x]并退出。
否则，答案加上ans[cen[x,j]]-num[belong[x,j],j]+d[x,j]*(cnt[cen[x,j]]-sum[belong[x,j],j])。
然后，若分治中心（即cen[x,j]）为黑点，再给答案加上d[x,j]。
感觉这题解就是代码即代码注释（囧
修改操作（把x染黑）：
x是黑点那我们啥也不干。
从小到大枚举层数j。
如果第j层x是分治中心就退出。
否则更新一下ans、num、cnt、sum。
详见代码QAQ。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100000+10;
int belong[maxn][20],cen[maxn][20],size[maxn],a[maxn],dep[maxn],cnt[maxn];
int h[maxn],go[maxn*2],next[maxn*2],sum[maxn][20];
ll d[maxn][20],num[maxn][20],dis[maxn*2],ans[maxn];
bool bz[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,x,tot,top;
ll now;
void add(int x,int y,int z){
    go[++tot]=y;
    dis[tot]=z;
    next[tot]=h[x];
    h[x]=tot;
}
void dfs(int x,int y){
    a[++top]=x;
    int t=h[x];
    size[x]=1;
    while (t){
        if (go[t]!=y&&!bz[go[t]]){
            dfs(go[t],x);
            size[x]+=size[go[t]];
        }
        t=next[t];
    }
}
void dg(int x,int y,int z,int d){
    belong[x][d]=z;
    int t=h[x];
    while (t){
        if (go[t]!=y&&!bz[go[t]]){
            dep[go[t]]=dep[x]+dis[t];
            dg(go[t],x,z,d);
        }
        t=next[t];
    }
}
void solve(int x,int y){
    top=0;
    dfs(x,0);
    int i,j=x,k=0,t;
    while (1){
        t=h[j];
        while (t){
            if (go[t]!=k&&!bz[go[t]]&&size[go[t]]>top/2){
                k=j;
                j=go[t];
                break;
            }
            t=next[t];
        }
        if (!t) break;
    }
    dep[j]=0;
    t=h[j];
    while (t){
        if (!bz[go[t]]){
            dep[go[t]]=dep[j]+dis[t];
            dg(go[t],j,go[t],y);
        }
        t=next[t];
    }
    fo(i,1,top) d[a[i]][y]=dep[a[i]],cen[a[i]][y]=j;
    bz[j]=1;
    t=h[j];
    while (t){
        if (!bz[go[t]]) solve(go[t],y+1);
        t=next[t];
    }
}
int main(){
    freopen("color1.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,2,n) scanf("%d",&a[i]),a[i]++;
    fo(i,2,n) scanf("%d",&dep[i]);
    fo(i,2,n) add(i,a[i],dep[i]),add(a[i],i,dep[i]);
    solve(1,0);
    fo(i,1,n) bz[i]=0;
    while (m--){
        scanf("%d%d",&t,&x);
        x++;
        if (t==1){
            if (bz[x]) continue;
            j=0;
            bz[x]=1;
            while (cen[x][j]!=x){
                ans[cen[x][j]]+=d[x][j];
                num[belong[x][j]][j]+=d[x][j];
                cnt[cen[x][j]]++;
                sum[belong[x][j]][j]++;
                j++;
            }
        }
        else{
            now=j=0;
            while (1){
                if (cen[x][j]==x){
                    now+=ans[x];
                    break;
                }
                else{
                    now+=ans[cen[x][j]]-num[belong[x][j]][j];
                    now+=(ll)d[x][j]*(cnt[cen[x][j]]-sum[belong[x][j]][j]);
                    if (bz[cen[x][j]]) now+=d[x][j];
                }
                j++;
            }
            printf("%lld\n",now);
        }
    }
}