网络流/二分图建模方法小结(不完全)

网络流/二分图建模方法小结(不完全)

1. 二分图最大匹配：$S\stackrel{1}{⟶}X,X\stackrel{1/INF}{⟶}Y,Y\stackrel{1}{⟶}T$
2. 二分图最小覆盖：选择尽量少的点，使得每条边至少一个端点被覆盖。最小覆盖$=$最大匹配(原理：最小割)
3. 二分图最大独立集：选择尽量多的结点，使得任意两点不相邻。与最小覆盖互补。($X+Y-$最小覆盖)。
4. DAG的最小路径覆盖：在图中找尽量少的路径，使得每个结点恰好在一条路径上。

• 不相交路径覆盖：将所有结点拆为$X$结点$i$和$Y$结点$i^{\prime }$，如果原图有$i\to j$,那么加边$i\to j^{\prime }$,最小路径覆盖$=$结点数$-$最大匹配数。
• 可相交路径覆盖：先$Floyd$求传递闭包，将所有连通的点之间加边，转化为上面的问题。

5. 网格模型常见二分图建图方法：

• 按照$(r+c)\%2$为$0/1$作为$X/Y$结点(原理：$X$结点之间/$Y$结点之间互不相邻)
• 每行作为$X$结点，每列作为$Y$结点

6. 最大权闭合子图：给定带权图$G$，求权和最大的点集，使得起点在该点集中的任意边，终点也在该点集。建图方法：将所有正权点与$S$相连，负权点与$T$相连，容量为权值的绝对值，保留原图的边，则最大权闭合子图$=$正权点的权和$-$最小割
7. 固定流量k的最小费用流：增广时检查一下如果$flow+a>k$,则只增广$k-flow$单位
8. 二分图的最大团：选最多点，使得这些点诱导的子图是完全图。最大团$=$补图的最大独立集
9. 二分图最小覆盖/最大独立集输出方案：DFS，从Y列的所有非匹配点出发，依次走非匹配边，匹配边，非匹配边，匹配边…最后以匹配边结尾，并把路径上的点均标记。这样，{ $Y$ 列未标记+$X$ 列标记 }就是最小覆盖，{$Y$ 列标记+$X$列未标记 } 就是最大独立集。
10. 无源无汇有容量上下界网络的可行流：(原理：下界流满+所有点流量守恒，即：将新建的图的所有必要弧合并回原图的这一过程，满足所有边的下界必定流满$+$所有点入流量$=$出流量)
    ①增加一个附加源和汇S,T。
    ②把每个节点的$\sum b_{u,i}$和$\sum b_{i,v}$求出来，$b$是指下界。
    ③对于每个节点，若$\sum b_{u,i}-\sum b_{i,v}>0$，则添一条从$S$到$i$，容量为$\sum b_{u,i}-\sum b_{i,v}$的边。
    若$\sum b_{u,i}-\sum b_{i,v}<0$，则添一条从$i$到$T$，容量为$\sum b_{i,v}-\sum b_{u,i}$的边。
    ④对于原网络中的点，连一条容量为 $c-b$ 的边。
    ⑤求从$S$到$T$的最大流，若所有与$S$相连的边或与$T$相连的边都满载，则这是一个可行解，方案为④中所连边的剩余流量$+b$。
11. 有源汇有容量上下界网络的最大/最小流：先求有源汇的网络有上下界的可行流，这一问题与上面问题的唯一不同在于，并非所有点满足流量守恒，那么，我们连接$t\to s$,下界为$0$，上界为$INF$,就转化为了前述问题。建好图后，运行最大流，这个可行流的大小就是$t\to s$这条边的流量。然后删去$t\to s$这条边（必须删，并且清掉$G[s]$和$G[t]$对应的，若要求最大流，就求$s-t$最大流，答案就是可行流+{$s-t$最大流}；若要求最小流，就求$t-s$最大流答案就是可行流-{$t-s$最大流}。
12. 费用与流量平方成正比的最小费用流：设流量为$x$时，费用为$a{x}^2$。用拆边法，容量为$c$的边拆成$c$条容量均为1的边，费用分别为$a,3a,5a,7a...$，转化为最小费用最大流问题。
13. 流量不固定的最小费用流：费用关于流量是下凸函数，因此不断增广，直到$SPFA$中单位流量费用为正时停止。
14. 区间k覆盖问题：数轴上有一些左闭右开/左开右闭/左开右开的区间，选出权和最大的区间集，使得数轴上任一点最多被k个选中的区间覆盖。建图：所有的区间$(u\to v)$加边$u\stackrel{1,-w}{⟶}v$，所有相邻点$i\stackrel{k,0}{⟶}i+1$
15. 最大密度子图：给定一个无向图，要求它的一个子图，使得子图中边数 $|E|$ 与点数 $|V|$ 的比值最大，即最大化：$\frac{|E|}{|V|}$。二分答案为k ，则要求解的问题是：选出一个合适的点集 $V$ 和边集 $E$，令$(|E|-k\ast |V|)$ 取得最大值。所谓“合适”是指满足如下限制：若选择某条边，则必选择其两端点。 建图:以原图的边作为左侧顶点，权值为1；原图的点作为右侧顶点，权值为 −k。若原图中存在边 $(u,v)$，则新图中添加两条边 $([uv]->u),([uv]->v)$,，转换为最大权闭合子图。
16. 给定图$G=<V，E>$，初始时$1$属于$A$,$n$属于$B$,对于点$i$，划给 $A$集合得 $V_{A_i}$分,划给 $B$集合得 $V_{B_i}$分,对于一条边$i$,若它连接两个$A$集合点，得$E_{A_i}$分，若连接两个$B$集合点，得$E_{B_i}$分，分别连接$A,B$点，扣除$E_{C_i}$分,求最大总得分。建图方法：$s\stackrel{V_{A_i}}{⟶}i,i\stackrel{V_{B_i}}{⟶}t$ ,例外的，$s\stackrel{INF}{⟶}1$,$n\stackrel{INF}{⟶}t$,对于原图的每条边，将其转化为容量为$\frac{E_{A_i}}{2}+\frac{E_{B_i}}{2}+E_{C_i}$的双向边，并且对于两个端点，再连边$s\stackrel{\frac{E_{A_i}}{2}}{⟶}i,i\stackrel{\frac{E_{B_i}}{2}}{⟶}t$，求出最小割，答案就是$\sum V_{A_i}+\sum V_{B_i}+\sum E_{A_i}+\sum E_{B_i}-$最小割。
17. Dilworth定理：对于任意偏序集都有，最大反链(最大独立集)=最小链的划分(最小可相交路径覆盖). 通过Dilworth定理, 我们就可以把偏序集(DAG)的最大独立集问题转化为最小可相交路径覆盖问题了。
18. 霍尔定理：二分图G中的两部分顶点组成的集合分别为$X,Y$(假设有$|X|\le |Y|$)。G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点(也就是存在完美匹配)的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻，即对于X中的一个点集W ，令$N(W)$为W的所有邻居， 霍尔定理即对于任意W，$|W|\le |N(W)|$。推论：假设两边的点集分别为X，Y，则二分图的最大匹配数为∣X∣−max{∣W∣−∣N(W)∣}|X|−max\{|W|−|N(W)|\}∣X∣−max{∣W∣−∣N(W)∣}，其中W是X的子集