SciPy科学计算与应用：SciPy入门-使用scipy.integrate求解常微分方程

常微分方程求解：SciPy实战

学习目标

通过本课程，学员将掌握如何使用SciPy库中的scipy.integrate模块来求解常微分方程（ODE）。同时实验将重点介绍odeint和solve_ivp两个函数的使用方法，以及它们在实际问题中的应用。

相关知识点

• 常微分方程求解：SciPy实战

学习内容

1 常微分方程求解：SciPy实战

1.1 常微分方程的基本概念

常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是包含未知函数及其导数的方程。在科学和工程领域，常微分方程被广泛用于描述各种动态系统的行为。例如，物理中的运动方程、化学中的反应速率方程、生物学中的种群动态模型等。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。一阶常微分方程的一般形式为：
$\frac{dy}{dt} = f(t, y) $，其中，$y$ 是未知函数，$t$ 是自变量，$f(t,y)$是已知函数。

高阶常微分方程可以通过引入新的变量转换为一阶常微分方程组。例如，二阶常微分方程：
$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=f(t,y,\frac{dy}{dt})$，
可以转换为两个一阶常微分方程：
$\frac{dy}{dt}=v$
$\frac{dv}{dt}=f(t,y,v)$

在实际应用中，通常需要求解常微分方程的初值问题（Initial Value Problem, IVP），即给定初始条件$ y(t₀) = y₀$，求解 $y(t)$ 在某个时间区间内的解。

1.2 使用odeint求解常微分方程

odeint 是 scipy.integrate 模块中的一个函数，用于求解一阶常微分方程组的初值问题。它的基本用法如下：

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义常微分方程
def model(y, t):
    k = 0.3  # 常数
    dydt = -k * y  # 一阶常微分方程
    return dydt

# 初始条件
y0 = 5

# 时间点
t = np.linspace(0, 20, 100)

# 求解常微分方程
y = odeint(model, y0, t)

# 绘制结果
plt.plot(t, y, 'r-', label='y(t)')
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('y(t)')
plt.legend()
plt.show()

在这个例子中，定义了一个简单的常微分方程$\frac{dy}{dt} = -0.3y $，并使用 odeint 求解。初始条件 $y(0)=5$，时间区间为 $[0,20]$。最后使用 matplotlib 绘制了 $ y(t) $的图像。

1.3 使用solve_ivp求解常微分方程

solve_ivp 是 scipy.integrate 模块中的另一个函数，用于求解初值问题。与 odeint 相比，solve_ivp 提供了更多的选项和灵活性。它的基本用法如下：

from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义常微分方程
def model(t, y):
    k = 0.3  # 常数
    dydt = -k * y  # 一阶常微分方程
    return dydt

# 初始条件
y0 = 5

# 时间区间
t_span = (0, 20)
t_eval = np.linspace(0, 20, 100)

# 求解常微分方程
sol = solve_ivp(model, t_span, [y0], t_eval=t_eval)

# 绘制结果
plt.plot(sol.t, sol.y[0], 'b-', label='y(t)')
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('y(t)')
plt.legend()
plt.show()

在这个例子中，同样定义了一个简单的常微分方程 $\frac{dy}{dt}=-0.3y$，并使用 solve_ivp 求解。初始条件 $y(0)=5$，时间区间为 $[0,20]$。solve_ivp 的 t_eval 参数用于指定输出的时间点。最后使用 matplotlib 绘制了 $y(t)$ 的图像。

通过本课程，学员已经掌握了如何使用 scipy.integrate 模块中的 odeint 和 solve_ivp 函数求解常微分方程。odeint 适用于简单的初值问题，而 solve_ivp 提供了更多的选项和灵活性，适用于更复杂的场景。