Python科学计算学习：从入门到放弃系列（2）用scipy解常微分方程组（涉及解释蝴蝶效应现象）

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#常微分方程组 #python #scipy

前言

Python 科学计算，接下来重点是三个，分别是1）解微分方程，2）画图和3）数值优化。前两者是相互关联的，因为对于微分方程的求解，如果不进行绘图展示，是很难直观理解解的含义的。另外，这部分的学习，对我来说有点困难，只能一步一步，慢慢前进了。

1. 问题描述（来自教材）

现在有一组常系数微分方程组（洛伦兹吸引子，这是混沌里面的内容）
方程组
三个方程表示了粒子在空间三个方向上的速度，求解这个方程组，也就是要在给定起点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0​,y0​,z0​) 和常数 (σ,ρ,β)(\sigma,\rho, \beta )(σ,ρ,β) 情况下，求出一系列的坐标点 (xi,yi,zi)(x_i,y_i,z_i)(x

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【Scipy高级计算】(2) 常微分方程、洛伦兹吸引子，附python完整代码
博观而约取，厚积而薄发
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Numpy（python科学计算）
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m0_73776435的博客
05-10 1788
NumPy，全称为 Numerical Python，是一个开源的 Python 科学计算库。它最初由 Travis Oliphant 在 2005 年创建，旨在解决 Python 在数值计算方面的效率问题。Python 本身虽然具有强大的可读性和易用性，但在处理大规模数值数据时，其内置的数据结构（如列表）效率较低。
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12-03 477
我是SymPy和Python的新手,我目前正在使用Python 2.7和SymPy 0.7.5,其目标是：a)从文本文件中读取微分方程组b)解决系统问题我已经阅读了this question和this other question,它们几乎就是我要找的,但我还有一个额外的问题：我事先并不知道方程组的形式,所以我无法在脚本中使用def创建相应的函数与this example一样.整个事情必须在运行时...
用python画洛伦兹吸引子，蝴蝶效应的混沌演示
qq_45756171的博客
01-17 1814
import matplotlib as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt xs, ys, zs = [], [], [] def mkPoints(): a, b, c = 10.0, 28.0, 8.0 / 3.0 h = 0.01 x0, y0, z0 = 0.1, 0, 0 for i in range(10000): x1 = x0 + h *
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scipy1.1.0版本的接口有很大，变化，也新增了函数。使用scipy求解微分方程主要使用scipy.integrate模块，函数是odeint,solve_ivp（初值问题），可以求解一阶、二阶以及高阶方程或方程组。 下面直接上代码，已有详细注释 ''' 使用scipy求解微分方程，包括一阶、二阶和高阶微分方程 从scipy1.1.0版本开始，相关的求解函数API变化比较大，也新增了...
【常微分方程非线性动力系统】：混沌与吸引子的奥秘
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Python的Scipy库解微分方程
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微分方程： 初始值： 问题： 求解其他三个参数： 代码实现： import numpy as np from numpy import zeros, linspace, arange from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3...
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1、变量间相加 2、变量与常数相乘 经过有限次的以上两种运算得到的式子是线性变换，得到的等式就是线性方程，得到多个方程就是方程组。 如果在运算中加入向量相乘的运算，就变成了非线性了   蝴蝶效应:  看似很小的改变, 但是却引出截然不同的结果 即数学上的非线性. 非线性方程:   相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢  (这)
python求根表达式_用SymPy表达式和SciPy s求解一阶常微分方程组
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12-12 707
我正在学习如何将python SymPy与SciPy相结合来数值求解常微分方程。然而，对于如何将一阶ODEs系统的SymPy形式转换成可以用scipy.integrate.odeint()处理的格式，我有点不知所措因此，另一篇文章是一个更复杂的例子，用户希望使用Theano或其他一些库来加速对ODE的计算。我只是想了解SymPy和SciPy之间的基本接口，所以这篇文章一点也没有帮助。在作为一个有趣...
python：使用scipy求解常微分方程
君浪的博客
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遇到一个物理问题，要求解如下微分方程组： d2xdt2=wdydt\frac{d^2x}{dt^2}=w\frac{dy}{dt}d2ydt2=−wdxdt\frac{d^2y}{dt^2}=-w\frac{dx}{dt}经参考相关资料后得知，需要用到scipy包中的odeint函数。 odeint函数使用方法如下：def sol(y,t,v0,w0): return (w0*y[1]+
python中scipy求解方法
chenguowen21的专栏
06-28 1438
线性方程组的直接方法：spsolve \(a，b[, permc_spec, use_umfpack] )求解稀疏线性系统Ax=b，其中b可以是向量或矩阵。spsolve_triangular \(a，b[, lower, ...] )解这个方程式 为 x ，假设A是三角矩阵。factorized \(a)返回求解稀疏线性系统的函数，并预分解A。MatrixRankWarninguse_solver \(** Kwargs)选择要使用的默认稀疏直接解算器。线性方程组的迭代方法：bicg \(a，b[, x
如何用Python求解微分方程组
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03-17 2624
要用Python求解微分方程组，需要使用一些数值求解工具库，例如Scipy库。这就是使用Python求解微分方程组的简单示例。你可以根据自己的需要修改微分方程组的定义、初值和参数等。你可以将这个微分方程组转换为一个函数，让 solve_ivp() 函数对它进行求解。最后，你可以将求解结果可视化。接下来，定义微分方程组。其中 sigma，rho 和 beta 是常数。
利用MATLAB的常微分方程数值解绘制蝴蝶效应（混沌系统）三维曲线图、平面上的投影图
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07-14 9501
一、模型的常微分方程及初值 二、ode45求解函数 function r=hudie3(t,x) global a; global b; global c; a=8/3;b=10;c=28; r=zeros(3,1); r(1)=-a*x(1)+x(2)*x(3); r(2)=-b*x(2)+b*x(3); r(3)=-x(1)*x(2)+c*x(2)-x(3); end 三、绘制混沌系统三维曲线图 a=8/3;b=10;c=28; t0=[0,100];f0=[0,0,1e-10]; [t,
化学反应的常微分方程求解（Python）
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03-14 2945
参考自John Hedengren的一门课，网址是apmonitor.com 考虑这样一个反应： 要求画出物质A和B的浓度时间曲线。其中A的反应速率如下： k=2.0，B的反应速率为 ： 代码： import numpy as np from scipy.integrate import odeint import matplotlib.pyplot as plt def rxt(C,t): Ca=C[0] Cb=C[1] k=2.0 dAdt = -k*Ca d.
Python数学建模-2.7SciPy库
2202_75971130的博客
03-19 1800
今天学习SciPy库，SciPy库是Python中一个非常重要的科学计算库，它基于NumPy库，提供了大量的数学、科学以及工程计算中需要的函数和方法。
˙ =a(y−x) y ˙ ​ =(c−a)x−xz+cy z ˙ = 2 1 ​ ( x ˉ y+x y ˉ ​ )−bz ​
03-11
<think>好的，我现在要处理用户关于洛伦兹系统微分方程组的解释和求解方法的查询。首先，用户需要了解这个方程组的基本信息，包括它的形式、各个参数的意义，以及它的来源和应用场景。然后，用户可能希望知道如何求解这个方程组，无论是解析方法还是数值方法，特别是后者，因为洛伦兹系统通常是难以解析求解的。 首先，我需要回忆洛伦兹系统的基本知识。洛伦兹系统是由爱德华·洛伦兹在1963年提出的，作为大气对流的一个简化模型。它由三个常微分方程组成，具有混沌解，对初始条件极为敏感，也就是著名的“蝴蝶效应”。方程组中的变量通常用x、y、z表示，参数为σ（普朗特数）、ρ（瑞利数相关）和β（几何因子）。 接下来，我需要确认用户的问题是否涉及具体的求解步骤。由于洛伦兹系统是非线性的，解析解通常不可行，所以数值方法是关键。常用的方法包括欧拉法、龙格-库塔法（尤其是四阶龙格-库塔法），以及更高级的变步长方法。需要解释这些方法的基本原理，并可能给出代码示例，比如使用Python的SciPy库中的odeint或solve_ivp函数。 然后，我需要考虑如何组织信息。按照用户的要求，回答需要分成多个方法或步骤，每个步骤间换行，避免使用第一人称和步骤词汇。例如，可以分为方程解释、参数说明、数值求解方法、代码示例等部分。 还需要检查是否需要引用网络资源来补充最新信息，比如是否有新的求解方法或应用案例。可能需要搜索确认洛伦兹系统的最新研究，但通常经典方法已经足够。此外，要确保引用内容分散在回答中，而不是集中在末尾。 关于格式，特别注意数学公式和代码的格式。例如，方程需要用$$包裹，变量如σ、ρ、β需要用斜体。代码块需要正确标注语言类型，并正确使用三个反引号。 最后，生成相关问题部分，必须基于原题和回答内容。可能的包括参数对系统行为的影响，混沌现象的解释，特定求解方法的比较，或者实际应用案例。 现在，需要验证这些思路是否正确，是否有遗漏。例如，是否提到了洛伦兹吸引子的概念，是否解释了参数的意义，是否提供了正确的代码示例。还需要确保不使用任何Markdown格式，除了代码和公式部分。同时，避免集中引用，确保每个引用点自然融入内容中。 可能还需要检查是否有更高效的数值方法推荐，或者不同编程语言的实现差异。例如，MATLAB和Python在求解ODE时的不同函数，但用户的问题可能更偏向于一般性方法，所以提供Python示例比较合适，因为受众更广。 总结，回答的结构应该是： 1. 洛伦兹系统的方程和参数解释。 2. 数值求解方法概述。 3. 具体求解步骤（如使用龙格-库塔法）。 4. 代码示例（Python）。 5. 应用和注意事项（如混沌特性对求解的影响）。 然后，相关问题需要围绕参数影响、混沌现象、求解方法比较、实际应用等生成。</think>洛伦兹系统微分方程组由Edward Lorenz于1963年提出，是混沌理论中的经典模型。其标准形式为： $$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = \sigma(y - x) \\ \frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \\ \frac{dz}{dt} = xy - \beta z \end{cases} $$ 其中$\sigma$（普朗特数）、$\rho$（瑞利数相关参数）、$\beta$（几何参数）为控制参数，典型取值$\sigma=10$，$\rho=28$，$\beta=8/3$时系统呈现混沌特性。 **方程组成因与特性** - $x$表示流体运动速率 - $y$表示温度梯度 - $z$表示温度偏差 - 非线性项$xy$和$xx$导致系统混沌 - 能量耗散特性保证系统有界性 **数值求解方法** **1. 龙格-库塔法（四阶）** 适用于常微分方程初值问题，时间步长选择影响精度： ```python import numpy as np from scipy.integrate import solve_ivp def lorenz(t, state, sigma, rho, beta): x, y, z = state dxdt = sigma*(y - x) dydt = x*(rho - z) - y dzdt = x*y - beta*z return [dxdt, dydt, dzdt] solution = solve_ivp(lorenz, [0, 50], [1.0, 1.0, 1.0], args=(10, 28, 8/3), rtol=1e-6) ``` **2. 自适应步长控制** 通过误差估计自动调整步长： ```matlab options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-9); [t,y] = ode45(@lorenz,[0 50],[1 1 1],options,10,28,8/3); ``` **3. 相空间分析** 绘制三维相图观察吸引子形态，需配合数值解可视化： ```python from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.plot(solution.y[0], solution.y[1], solution.y[2]) ``` **计算注意事项** - 初始条件敏感性需保持高计算精度 - 混沌系统建议使用双精度浮点运算 - 时间步长通常取0.01-0.001量级 - 能量守恒验证：计算$\frac{d}{dt}(x^2 + y^2 + z^2)$应趋近于零
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