【论文精读】时序逻辑推理之高效的参数学习 Efficient Parametric Identification for STL

前言：由于上一篇文章Parametric Identification of Temporal Properties中的算法效率复杂度过高，因此找到了这一篇文献看看是否有更高效的算法.

主要参考文献：
Alexey Bakhirkin, Thomas Ferrère, and Oded Maler. 2018. Efficient Parametric Identification for STL. In Proceedings of the 21st International Conference on Hybrid Systems: Computation and Control (part of CPS Week) (HSCC '18). Association for Computing Machinery, New York, NY, USA, 177–186. DOI:https://doi.org/10.1145/3178126.3178132

概览

此文是在前文基础上的改进，同样给定公式模板，寻找满足信号公式参数的取值范围。

流水账笔记

1 Introduction

介绍了STL的应用背景，提到STL的主要应用场景是监督。这里又cue了上一篇文献的工作。本文引入了satisfaction signal, robustness signal 和 parametric validity signal，这些名词具体是什么还得接着往下看。这里先mark一下原文：

The major contribution of the paper is a new procedure to compute validity domains that follows the computation of satisfaction and robustness signals by propagating them as function of time, from sub-formulas to formulas. With each formula $\phi$ and a signal $w$ we associate a parametric validity signal whose value at $t$ indicates the set of parameter valuations $v$ such that $(w,t)\models \phi [v]$.

2 Parametric Signal Temporal Logic

这里提到STL可以描述布尔信号和实数信号的特性，这里可以将布尔信号看作取值为0或1的实数信号，所以这里不将两种信号加以区分。

PSTL/极性/可行域等相关介绍同上一篇文献

算子 “$\diamond$” & “$\square$”

因为我老是分不清eventually和always的两个符号，所以这里记一下:
$$\begin{gathered} eventually:\diamond \\ \diamond \phi \equiv true\mathcal{U}\phi \\ always:\square \\ \square \phi \equiv \neg \diamond \neg \phi \end{gathered}$$

算子 “$\mathcal{U}$” & “$\mathcal{R}$”

$$\begin{gathered} \phi {\mathcal{U}}_{[a,\infty )}\psi \equiv {\square }_{[0,a]}(\phi \mathcal{U}\psi ) \\ \phi {\mathcal{U}}_{[a,b]}\psi \equiv ({\diamond }_{[a,b]}\psi )\wedge (\phi {\mathcal{U}}_{[a,\infty ]}\psi )\equiv ({\diamond }_{[a,b]}\psi )\wedge ({\square }_{[0,a]}(\phi \mathcal{U}\psi )) \end{gathered}$$

上面的式子这么理解：信号至少满足$\phi$ a时间后满足$\psi$，之后的状态概不负责。

下面的式子这么理解：信号至少持续满足$\phi$要求a时间，最长持续满足$\phi$要求b时间后满足要求$\psi$，之后的状态概不负责。

接下来介绍与until互补的概念，R代表Release，和Until算子形成互补的含义。
$$\phi \mathcal{R}\psi \equiv \neg (\neg \phi \mathcal{U}\neg \psi )$$
这里这样理解：信号一旦满足$\phi$，之后就会持续满足$\psi$.

Parametric Validity Signal

这里是本文的一个新概念，我这里把它翻译为可行域函数（信号），指的是从时间t之后的信号序列$w[t]$（后缀）对应的参数可行域。总的可行域$D(\phi ,$