【论文精读】时序逻辑推理之参数学习 Parametric Identification of Temporal Properties

_{前言：每天看文献总是不知道该写点什么好，不记录点东西读了就忘，就随时补充记录在博客里吧。（希望导师能够看到知道我没在摸鱼）}

主要参考文献:
Asarin, E., Donzé, A., Maler, O., & Nickovic, D. (2012). Parametric Identification of Temporal Properties. In Runtime Verification (pp. 147–160).https://doi.org/10.1007/978-3-642-29860-8_12

概览

根据STL公式模板推理出满足dense-time real-valued信号的可行参数空间，即可行域的推导。文中提供了两种方法：

1. 量词消去法 quantifier elimination
2. 自适应（“暴力”）搜索法

流水账笔记

1 Introduction

首先对背景进行了介绍，系统设计中通常使用某种量化指标对系统的performance进行评估，及使用量化方法作用于动态系统的trace（有时候又称：信号、波形、轨迹）。因此设计评估方法的同时也反映了工程师对系统表现的期望。

本文进行相反的工作，已知信号来得到评价期望（specification）。即，用原文的话来说：

Given a PSTL formula, find the range of parameters that render the formula satisfied by a given set of traces.

2 Parametric Signal Temporal Logic

定义了几个重要的概念：

PSTL:

包含参数的STL

parameter valuation:

赋值，将PSTL变为STL

polarity $\pi (p,\phi )$ :

$\phi$中的参数$p$变大，信号是更容易满足$\phi$还是更难满足$\phi$，更容易为正

validity domain:

可行域，在这个空间中的参数都能够使信号满足公式$\phi$

3 Computing Validity Domains

介绍计算可行域的计算流程

3.1 Semilinear Validity Domains

这里为什么要定义一个semilinear的概念并不是太懂，原文是这样定义的：

A subset of the parameter space is semilinear if it can be written as a Boolean combination of linear inequalities on the corresponding variables.

即，半线性可行域可以用有关不同变量的不等式的线性组合表示。

接着证明了以下Proposition：

For every PSTL formula $\phi$ and piecewise-linear signal $x$, the validity domain $D(x,\phi )$ is semilinear.

可行域计算步骤

用以上方法得到的可行域是不等式的布尔运算组合（可以理解为在时间上分段的不等式），如图

选取最优参数

得到可行域后，我们得到的是个超曲面（多维的区间），曲面上的点都是可用的参数组合。这时，我们会想要得到optimal valuation，由于前面的假设，每个参数的polarity都是非负即正，这里选择边界的点作为最优解。边界可以看做是Pareto front，所得到的参数是tightest。

Tightness vs. robustness

这就引出了时序逻辑的两个向对概念：tightness和robustness. 我是这样理解的：
Tightness可译为极限度，表示极性为正（负）的参数的参数减小（增大），信号更容易违反公式的程度。
Robustness可以为鲁棒度，表示参数的变化不容易导致公式被违反的程度。
可以理解为，越靠边界上的点，tightness越大，robustness越小；越靠里面的点，tightness越小，robustness越大。

3.2 Example

案例复现

案例中要求解的STL如下
$$\phi ={\diamond }_{[0,s_2]}{\square }_{[0,s_1]}(x<p)$$
给出的信号为有5个点，通过线性插值分成了四段：
x ( t ) = { 2 t 0