[DP][堆与斜率] ARC070 E - NarrowRectangles

最新推荐文章于 2021-08-13 15:01:51 发布

Vectorxj

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分类专栏：堆动态规划

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堆

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这是一篇关于ARC070 E问题的解决方案，主要探讨了如何使用动态规划（DP）策略来解决涉及矩形优化的问题。文章详细解释了如何建立状态转移方程，以找到在考虑了前i个矩形且第i个矩形左端点位于x位置时的最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Solution$

先看这个部分分。显然是个暴力DP。
设 $dp_{i,x}$ 表示考虑了前 $i$ 个矩形，第 $i$ 个左端点在 $x$ 的最优解。
转移就是

d p_{i, x} = {MIN}_{x - (r_{i - 1} - l_{i - 1}) \leq y \leq x + (r_{i} - l_{i})} d p_{i - 1, y} + | x - l_{i} |

$dp_{i,x}=\text{MIN}_{x-(r_{i-1}-l_{i-1})\le y\le x+(r_i-l_i)}dp_{i-1,y}+|x-l_i|$ 很通过简单的数学归纳，容易发现前面是一个一堆斜率递增的折线构成的函数，后面是一个

∨ ∨ $\vee$ 一样的函数。。。
进一步分析前面就是把

dpi−1,∗ d p i − 1 , ∗ $dp_{i-1,*}$ 斜率小于

0 0 $0$ 的向左平移

r_{i - 1} - l_{i - 1}

$r_{i-1}-l_{i-1}$ ，大于

0 0 $0$ 的向右平移

r_{i} - l_{i}

$r_i-l_i$ 。
受到这个的启发，刚开始想打一个可并堆，发现其实没必要。
因为第二个函数很简单并且每次只合并

1 1 $1$ 次，所以最后拐点的个数是

O (n)

$O(n)$ 的。只需要用堆暴力维护左右折线的拐点，暴力合并就好了。

#include <bits/stdc++.h>
#define show(x) cerr << #x << " = " << x << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> Pairs;

const int N = 202020;

inline char get(void) {
    static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
        if (S == T) return EOF;
    }
    return *S++;
}
template<typename T>
inline void read(T &x) {
    static char c; x = 0; int sgn = 0;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get()) if (c == '-') sgn = 1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
    if (sgn) x = -x;
}

int n;
ll addl, addr, ans;
int l[N], r[N];
priority_queue<ll> L;
priority_queue<ll, vector<ll>, greater<ll> > R;

template<typename T>
inline T Abs(T x) {
    return x < 0 ? -x : x;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    freopen("1.out", "w", stdout);
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        read(l[i]); read(r[i]);
        if (i == 1) {
            L.push(l[i]); R.push(l[i]);
            addl = addr = 0;
            continue;
        }
        int len2 = r[i] - l[i], len1 = r[i - 1] - l[i - 1];
        addl -= len2;
        addr += len1;
        ll lb = L.top() + addl, rb = R.top() + addr;
        if (l[i] < lb) {
            ans += Abs(lb - l[i]);
            R.push(lb - addr);
            L.push(l[i] - addl);
            L.push(l[i] - addl);
            L.pop();
        } else if (l[i] > rb) {
            ans += Abs(rb - l[i]);
            L.push(rb - addl);
            R.push(l[i] - addr);
            R.push(l[i] - addr);
            R.pop();
        } else {
            L.push(l[i] - addl);
            R.push(l[i] - addr);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}