[DP of DP]SRM 591 Hard StringPath

最新推荐文章于 2019-04-07 07:39:00 发布

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定字符矩阵中路径计数问题的方法。针对给定的两个字符串A和B，在n×m的字符矩阵中寻找从(0,0)位置出发的两条路径，这两条路径组成的字符串恰好为A和B。通过状态压缩技术优化了计算复杂度。

$Description$

给定 $n$ 和 $m$ ，求所有 $n\times m$ 的字符矩阵中有多少存在两条从 $(0,0)$ 开始的只能往下往右走的路径，使得这两条路径组成的字符串正好是 $A$ 和 $B$ 。

$Solution$

考虑模型DP。
设 $f_{i,j}$ 表示到 $i$ 行 $j$ 列是否存在一条路径是 $A$ 的前缀。
设 $g_{i,j}$ 表示到 $i$ 行 $j$ 列是否存在一条路径是 $B$ 的前缀。
这是一个网格上的DP，那么就只与其轮廓线上的DP值有关。
每一位都是 $0/1$ ，考虑状压下来。
复杂度是 $O(nm2^{2m})$ 的吧。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 1000000009;

class StringPath {
    public:
        string A, B;
        int n, m, U, ans, cur;
        int dp[10][10][1 << 8][1 << 8];
        inline void Add(int &x, int a) {
            x += a; while (x >= MOD) x -= MOD;
        }
        inline int countBoards(int n, int m, string A, string B) {
            U = (1 << m) - 1;
            ans = 0;
            if (A[0] == B[0]) {
                dp[0][0][1][1] = 1;
                dp[0][0][0][0] = 25;
            } else return 0;
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < m; j++) {
                    if (i == n - 1 && j == m - 1) continue;
                    for (int s = 0; s <= U; s++)
                        for (int t = 0; t <= U; t++)
                            if (cur = dp[i][j][s][t]) {
                                int x = i, y = j + 1;
                                if (y == m) {
                                    y = 0; ++x;
                                }
                                int ns = s | (s << 1 & 1 << y),
                                    nt = t | (t << 1 & 1 << y);
                                int fs = ns & (U ^ (1 << y)),
                                    ft = nt & (U ^ (1 << y));
                                if (A[x + y] == B[x + y]) {
                                    Add(dp[x][y][ns][nt], cur);
                                    Add(dp[x][y][fs][ft], 25ll * cur % MOD);
                                } else {
                                    Add(dp[x][y][ns][ft], cur);
                                    Add(dp[x][y][fs][nt], cur);
                                    Add(dp[x][y][fs][ft], 24ll * cur % MOD);
                                }
                            }
                }
            for (int i = 0; i <= U; i++)
                for (int j = 0; j <= U; j++)
                    if (((i >> m - 1) & 1) && ((j >> m - 1) & 1))
                        Add(ans, dp[n - 1][m - 1][i][j]);
            return ans;
        }
};
StringPath T;
int n, m;
string x, y;

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    cin >> n >> m >> x >> y;
    cout << T.countBoards(n, m, x, y) << endl;
    return 0;
}