[数位DP][线性基]Codeforces 388D. Fox and Perfect Sets

最新推荐文章于 2022-03-14 17:00:12 发布

Vectorxj

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分类专栏：动态规划线性基

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线性基

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本文介绍了一种通过线性基思想解决特定集合计数问题的方法。对于一个集合S，如果对于其中任意两个元素x和y，x xor y也在集合中，则称此集合为好集合。文章提供了一个高效的算法，用于计算所有元素不超过n的这类好集合的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Description$

一个集合 $S$ 满足

\forall x, y \in S, x x o r y \in S

$\forall x,y\in S,x~xor~y\in S$ 则称这个集合是好的。
所有集合元素小于等于

n $n$ 的集合个数。

Solution $Solution$

可以从线性基考虑。
按数位从高到低加入。
设 $dp_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个 $bit$ ，当前已加入 $j$ 个基的方案数。
若要加入这个 $bit$ 那么就直接转移，若不加入相当于要把这个 $bit$ 给分到已经加入的 $j$ 个基里面，贡献就是 $2^j$ 。
然后枚举异或和转移就好啦。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100;
const int MOD = 1000000007;
typedef long long ll;

int n, m, ans;
int dp[N][N][2];

inline void Add(int &x, int a) {
    x += a; while (x >= MOD) x -= MOD;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    cin >> n;
    dp[32][0][1] = 1;
    for (int i = 32; i; i--)
        for (int j = 0; j <= 32; j++) {
            Add(dp[i - 1][j][0], (1ll << j) * dp[i][j][0] % MOD);
            Add(dp[i - 1][j + 1][0], dp[i][j][0]);
            long long t0 = j ? (1 << (j - 1)) : 1,
                t1 = j ? (1 << (j - 1)) : 0;
            if ((n >> (i - 1)) & 1) {
                Add(dp[i - 1][j][1], t1 * dp[i][j][1] % MOD);
                Add(dp[i - 1][j][0], t0 * dp[i][j][1] % MOD);
                Add(dp[i - 1][j + 1][1], dp[i][j][1]);
            } else Add(dp[i - 1][j][1], t0 * dp[i][j][1] % MOD);
        }
    for (int i = 0; i <= 32; i++) {
        Add(ans, dp[0][i][1]);
        Add(ans, dp[0][i][0]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}