[数位DP][线性基]Codeforces 388D. Fox and Perfect Sets

$Description$

一个集合$S$满足

$$\forall x,y\in S,x~xor~y\in S$$ 则称这个集合是好的。
所有集合元素小于等于$n$的集合个数。

$Solution$

可以从线性基考虑。
按数位从高到低加入。
设$dp_{i,j}$表示考虑前$i$个$bit$，当前已加入$j$个基的方案数。
若要加入这个$bit$那么就直接转移，若不加入相当于要把这个$bit$给分到已经加入的$j$个基里面，贡献就是$2^j$。
然后枚举异或和转移就好啦。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100;
const int MOD = 1000000007;
typedef long long ll;

int n, m, ans;
int dp[N][N][2];

inline void Add(int &x, int a) {
    x += a; while (x >= MOD) x -= MOD;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    cin >> n;
    dp[32][0][1] = 1;
    for (int i = 32; i; i--)
        for (int j = 0; j <= 32; j++) {
            Add(dp[i - 1][j][0], (1ll << j) * dp[i][j][0] % MOD);
            Add(dp[i - 1][j + 1][0], dp[i][j][0]);
            long long t0 = j ? (1 << (j - 1)) : 1,
                t1 = j ? (1 << (j - 1)) : 0;
            if ((n >> (i - 1)) & 1) {
                Add(dp[i - 1][j][1], t1 * dp[i][j][1] % MOD);
                Add(dp[i - 1][j][0], t0 * dp[i][j][1] % MOD);
                Add(dp[i - 1][j + 1][1], dp[i][j][1]);
            } else Add(dp[i - 1][j][1], t0 * dp[i][j][1] % MOD);
        }
    for (int i = 0; i <= 32; i++) {
        Add(ans, dp[0][i][1]);
        Add(ans, dp[0][i][0]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}