[DP决策单调性][分治] CF 868F. Yet Another Minimization Problem

最新推荐文章于 2022-10-10 13:58:30 发布

Vectorxj

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分类专栏：分治动态规划

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本文介绍了一种通过分治策略实现区间代价最小化的算法。该算法利用了两个凸函数的决策单调性，确保了计算效率，并详细展示了如何避免重复计算同一层区间内的贡献，以防止复杂度过高。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$\text{Description}$

定义一个区间的代价为

\sum i (c i 2)

$\sum_i{{c_i}\choose 2}$

cici $c_i$ 为

ii $i$ 出现的次数。

Solution

$\text{Solution}$

因为两个函数都是凸的啊。。
所以就有决策单调性了。。
然后分治一下。
计算贡献的时候要注意不要计算到两层区间内。（因为复杂度会炸掉。。。）
我是每次都先计算区间 $[l1,l]$ 的。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 202020;
const int M = 25;
typedef long long ll;

inline char get(void) {
    static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
        if (S == T) return EOF;
    }
    return *S++;
}
inline void read(int &x) {
    static char c; x = 0;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
}

int a[N], p[N], vis[N];
ll dp[N][M];
int n, k, clc;
ll val;

inline void Solve(int k, int l, int r, int l1, int r1) {
    if (l > r) return;
    int mid = (l + r) >> 1, pos; dp[mid][k] = 1ll << 59;
    for (int i = l + 1; i <= mid; i++) val += p[a[i]]++;
    for (int i = l1; i <= min(mid, r1); i++) {
        if (dp[i - 1][k - 1] + val < dp[mid][k]) {
            dp[mid][k] = dp[i - 1][k - 1] + val;
            pos = i;
        }
        val -= --p[a[i]];
    }
    for (int i = l1; i <= min(mid, r1); i++) val += p[a[i]]++;
    for (int i = l + 1; i <= mid; i++) val -= --p[a[i]];
    Solve(k, l, mid - 1, l1, pos);
    for (int i = l1; i < pos; i++) val -= --p[a[i]];
    for (int i = l + 1; i <= mid + 1; i++) val += p[a[i]]++;
    Solve(k, mid + 1, r, pos, r1);
    for (int i = l + 1; i <= mid + 1; i++) val -= --p[a[i]];
    for (int i = l1; i < pos; i++) val += p[a[i]]++;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    read(n); read(k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    clc = 1; val = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        val += p[a[i]]++;
        dp[i][1] = val;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = 0;
    val = 0; p[a[1]] = 1;
    for (int i = 2; i <= k; i++) {
        Solve(i, 1, n, 1, n);
    } 
    cout << dp[n][k] << endl;
    return 0;
}