Codeforces 856C [DP]

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本文探讨了给定一系列整数，如何计算这些整数通过不同顺序拼接形成能被1111整除的大数的方案数量。采用动态规划的方法解决了奇数位和偶数位之和的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Description$

给定 $n$ 个数，求将这 $n$ 个数按一定顺序拼在一起是 $11$ 的倍数的方案数。

$Solution$

$11$ 的倍数的奇数位之和与偶数位之和之差为 $11$ 的倍数。
把每个数记为奇数位之和与偶数位之和之差，那么如果他的第一位是奇数位，就相当于加上这个数，否则就是减掉这个数。
先考虑长度为奇数的数，可以 $O(n^2)$ DP出有 $i$ 个数第一位是奇数位，贡献为 $j$ 的方案数 $f_{i,j}$ 。
在考虑把偶数插进去。
直接插就好了。
也是 $O(n^2)$ 的DP吧。。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 998244353;
const int N = 2020;
typedef long long ll;

inline char get(void) {
    static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
        if (S == T) return EOF;
    }
    return *S++;
}
inline void read(int &x) {
    static char c; x = 0;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
}
inline int readi(int &x) {
    static char c; x = 0; int cnt = 1;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get());
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) {
        x += (c - '0') * cnt; cnt *= -1;
    }
    x = (x % 11 + 11) % 11;
    return cnt;
}

int n, x, l1, l2, res, test;
int a[N], b[N], c[N];
int dp[N][12], dp1[N][12];
int ans;

inline int Mod(int x, int P) {
    return (x % P + P) % P;
}
inline int Min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}

int main(void) {
    read(test);
    while (test--) {
        read(n); ans = 0; *c = *b = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            x = readi(a[i]);
            if (~x) c[++*c] = a[i];
            else b[++*b] = a[i];
        }
        l1 = (*b + 1) / 2; l2 = *b / 2;
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= *b; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++)
                for (int k = 0; k < 11; k++) {
                    dp1[j][k] = dp[j][k];
                    dp[j][k] = 0;
                }
            for (int j = 0; j <= n; j++)
                for (int k = 0; k < 11; k++) {
                    if (j) dp[j][k] += (ll)dp1[j - 1][Mod(k - b[i], 11)] * (l1 - j + 1) % MOD;
                    dp[j][k] += (ll)dp1[j][Mod(k + b[i], 11)] * (l2 - i + j + 1) % MOD;
                    dp[j][k] %= MOD;
                }
        }
        for (int j = 0; j < l1; j++)
            for (int k = 0; k < 11; k++)
                dp[j][k] = 0;
        for (int i = 1; i <= *c; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++)
                for (int k = 0; k < 11; k++) {
                    dp1[j][k] = dp[j][k];
                    dp[j][k] = 0;
                }
            for (int j = 0; j <= n; j++)
                for (int k = 0; k < 11; k++) {
                    if (j) dp[j][k] += (ll)dp1[j - 1][Mod(k + c[i], 11)] * (j - 1) % MOD;
                    dp[j][k] += (ll)dp1[j][Mod(k - c[i], 11)] * (i - j + *b) % MOD;
                    dp[j][k] %= MOD;
                }
        }
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            ans = Mod(ans + dp[i][0], MOD);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}