BZOJ 1188 [SG定理][博弈论]

最新推荐文章于 2018-10-24 16:01:54 发布

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本文介绍了一个名为“分裂”的游戏，玩家需要通过特定的规则来移动巧克力豆以获得胜利。文章详细解析了游戏规则，并利用SG定理进行策略分析，探讨了如何确保获胜的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Description$

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。该游戏的规则试：共有 $n$ 个瓶子，标号为 $0,1,2…..n-1$ , 第 $i$ 个瓶子中装有 $p_i$ 颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 $3$ 个瓶子。标号为 $i,j,k$ , 并要保证 $i < j , j ≤ k$ 且第 $i$ 个瓶子中至少要有 $1$ 颗巧克力豆，随后这个人从第 $i$ 个瓶子中拿走一颗豆子并在 $j,k$ 中各放入一粒豆子（ $j$ 可能等于 $k$ ）。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为了必胜，第一步有多少种取法？假定 $1 < n ≤ 21,p_i ≤ 10000$

$Solution$

$SG$ 定理的基本应用吧。 $SG_i$ 表示第 $i$ 个瓶子中的豆子，接下来就是套 $SG$ 定理了。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 30000;
const int N = 30;

bool vis[MAXN];
int a[N], SG[N];
int test, G, cnt, n;

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    scanf("%d", &test);
    for (int i = 1; i < 28; i++) {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (int j = 0; j < i; j++)
            for (int k = 0; k <= j; k++)
                vis[SG[j] ^ SG[k]] = true;
        for (int j = 0; ; j++)
            if (!vis[j]) {
                SG[i] = j; break;
            }
    } // 预处理SG函数
    while (test--) {
        scanf("%d", &n); G = cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (a[i] & 1) G ^= SG[n - i - 1];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
                for (int k = j; k < n; k++)
                    if ((G ^ SG[n - i - 1] ^ SG[n - j - 1] ^ SG[n - k - 1]) == 0)
                        if ((++cnt) == 1) printf("%d %d %d\n", i, j, k);
        if (!cnt) puts("-1 -1 -1");
        printf("%d\n", cnt);
    }
    return 0;
}