BZOJ 2177 [曼哈顿最小生成树]

最新推荐文章于 2019-05-03 20:13:00 发布

Vectorxj

最新推荐文章于 2019-05-03 20:13:00 发布

阅读量854

点赞数 2

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：最小生成树树状数组并查集文章标签：最小生成树树状数组

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Vectorxj/article/details/62895872

并查集同时被 3 个专栏收录

9 篇文章

订阅专栏

树状数组

6 篇文章

订阅专栏

最小生成树

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种求解平面坐标系中最小生成树问题的独特算法。通过将平面划分为八个区域，并利用树状数组来维护每个区域内的最近点，有效地减少了边的数量。此方法巧妙地运用了Kruskal算法，并特别注意了重复边的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Description$

平面坐标系 $xOy$ 内，给定 $n$ 个顶点 $V = (x , y)$ 。对于顶点 $u,v,u$ 与 $v$ 之间的距离 $d$ 定义为 $|x_u – x_v| + |y_u – y_v|$ 。你的任务就是求出这 $n$ 个顶点的最小生成树。

Solution $Solution$

把平面划分为八个区域以后只有这八个区域的最近点与该点的连边在 $Kruscal$ 中有贡献。
找到这八个点只要用树状数组维护一下即可。

好像很妙的方法。
有一个地方要去重，不然会WA

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 101010;
const int INF = 2147483647;

inline char get(void) {
    static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
    if (S == T) {
        T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
        if (S == T) return EOF;
    }
    return *S++;
}
inline void read(int &x) {
    static char c; x = 0; int sgn = 0;
    for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get()) if (c == '-') sgn = 1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
    if (sgn) x = -x;
}

struct Point {
    int x, y, id;
    Point (int _x = 0, int _y = 0, int i = 0):x(_x), y(_y), id(i) {}
    inline friend bool operator <(const Point &a, const Point &b) {
        return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x;
    }
    inline void Ref(int dir) {
        if (dir & 1) swap(x, y);
        else if (dir == 2) x = -x;
    }
};
struct node {
    int pos, key;
    node (int p = 0, int k = 0):pos(p), key(k) {}
};
struct edge {
    int from, to, key;
    edge(int f = 0, int t = 0, int k = 0):from(f), to(t), key(k) {}
    inline friend bool operator <(const edge &a, const edge &b) {
        return a.key < b.key;
    }
};
node C[N];
Point P[N];
edge G[N << 3];
int n, pos, Gcnt, cnt;
long long ans;
int mp[N], v[N];
int fa[N], rk[N];

inline int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}
inline void Modify(int x, int key, int pos) {
    for (; x; x -= lowbit(x))
        if (C[x].key > key)
            C[x] = node(pos, key);
}
inline int Query(int x) {
    int key = INF, pos = -1;
    for (; x <= n; x += lowbit(x))
        if (C[x].key < key) {
            key = C[x].key; pos = C[x].pos;
        }
    return pos;
}
inline int Abs(int x) {
    return x < 0 ? -x : x;
}
inline int Dis(const Point &a, const Point &b) {
    return Abs(a.x - b.x) + Abs(a.y - b.y);
}
inline int F(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = F(fa[x]);
}
inline bool Merge(int x, int y) {
    static int f1, f2;
    f1 = F(x); f2 = F(y);
    if (f1 == f2) return false;
    if (rk[f1] > rk[f2]) swap(f1, f2);
    if (rk[f1] == rk[f2]) rk[f2]++;
    fa[f1] = f2; return true;
}
inline bool cmp(const int a, const int b) {
    return v[a] < v[b];
}
inline void AddEdge(int from, int to, int key) {
    G[++Gcnt] = edge(from, to, key);
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    freopen("1.out", "w", stdout);
    read(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        read(P[i].x); read(P[i].y);
        P[i].id = i; fa[i] = i;
    }
    for (int dir = 0; dir < 4; dir++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) P[i].Ref(dir);
        sort(P + 1, P + n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            mp[i] = i; v[i] = P[i].y - P[i].x;
            C[i] = node(-1, INF);
        }
        sort(mp + 1, mp + n + 1, cmp);
        cnt = 0; mp[n + 1] = INF;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ++cnt;
            while (v[mp[i]] == v[mp[i + 1]]) v[mp[i++]] = cnt;
            v[mp[i]] = cnt;
        } // 离散去重
        for (int i = n; i; i--) {
            pos = Query(v[i]);
            if (~pos) AddEdge(P[i].id, P[pos].id, Dis(P[i], P[pos]));
            Modify(v[i], P[i].x + P[i].y, i);
        }
    }
    sort(G + 1, G + Gcnt + 1);
    for (int i = 1; i <= Gcnt; i++) {
        if (Merge(G[i].from, G[i].to)) {
            n--; ans += G[i].key;
            if (n == 1) break;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}