现代机器学习研究进展 第一部分 数学与概率工具箱 第二章 随机过程与随机微分方程（SDE）基础

（Itô / Stratonovich、Fokker–Planck 与密度演化）

目标：为高级人工智能开发者提供严谨且可操作的随机过程与 SDE 基础。包含随机积分的构造、Itô 与 Stratonovich 微积分的推导与互换公式、SDE 的存在唯一性与解析解示例、由 SDE 导出的 Fokker–Planck（前向 Kolmogorov）方程与概率流 ODE 的关系、常用数值解法（Euler–Maruyama、Milstein、隐式法）及其收敛/稳定性评价。每一节都给出详细数学推导、工程提示与练习。

1 随机过程与布朗运动

1.1 随机过程的定义

1.2 标准布朗运动（Wiener 过程） WtW_tWt​

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2 Itô 积分的构造与性质