信号与系统(Python) 学习笔记 (8) 离散系统z域分析 -- z变换

最新推荐文章于 2025-11-04 14:01:58 发布

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#信号处理

本文深入探讨了离散系统z域分析的核心概念，包括z变换的定义、性质及其与拉普拉斯变换的关系，详细讲解了逆z变换的计算方法，并介绍了如何利用z变换解决差分方程。

文章目录

8. 离散系统 z 域分析
- 8.1. z 变换

8. 离散系统 z 域分析

$\begin{aligned}连续 \;\; &\Big\vert\;\; 离散 \\ 时域\; f(t)\star h(t) &\Big\vert f(k) \star h(k) \\ 变换域\; \begin{cases} F(j\omega)\cdot H(j\omega) \\ F(s) \cdot H(s) \end{cases} &\Big\vert F(z) \cdot H(z) \end{aligned}$

8.1. z 变换

拉氏变换把连续系统微分方程转换为代数方程，同样地，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。

8.1.1. z 变换定义

z变换导出
对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。
取样信号:
$f_s(t) = f(t) \delta_T(t) = \sum^{\infty}_{k=-\infty}f(kT)\delta(t-kT)$
两边取双边拉普拉斯变换，时移性质，得：
$F_{Sb}(s) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} f(kT)e^{-kTs}$
令 ${\color{red}z=e^{sT}}$ , 上式将成为复变量 $z$ 的函数, 用 $F (z)$ 表示； $f(kT)\to f(k)$ , 得
$F_b(z) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} f(k) z^{-k}\; 称为 {\color{blue}序列 f(k)}的{\color{red}双边 z 变换}$
$\sum^{\infty}_{ {\color{red}k=0}} f(k) z^{-k}\; 称为 {\color{blue}序列 f(k)}的{\color{red}单边 z 变换}$
若 $f (k)$ 为因果序列，则单边、双边 $z$ 变换相等，否则不同。今后在不致混淆的情况下，统称它们为 $z$ 变换。
与拉普拉斯变换相同，双边变换会涉及到多值的问题（双边z 变换必须标明收敛域），所以一般使用单边变换。
表示：
$\mathcal{Z}[f(k)]$
$\mathcal{Z}^{-1}[F(z)]$
$\longleftrightarrow F(z)$

8.1.2. z 变换收敛域

当幂级数收敛时， $z$ 变换才存在，即满足绝对可和条件：

$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \big\lvert f(k) z^{-k}\big\rvert < \infty$

它是序列 $f (k)$ 的 $z$ 变换存在的充要条件。
定义:
- 对于序列 $f (k)$ , 满足
  $\sum^{\infty}_{k=-\infty} \big\lvert f(k) z^{-k}\big\rvert < \infty$
- 所有 $z$ 值组成的集合称为其 $z$ 变换 $F (z)$ 的收敛域。
例: 因果序号 $a^k \varepsilon(k)$ 的 $z$ 变换 ( $a$ 为常数)。
$\sum^{\infty}_{k=1}a^kz^{-k} = \lim_{N\to\infty}\sum^{N}_{k=1}(az^{-})^k = \lim_{N\to\infty} \frac{1-(az^{-1})^{N+1}}{1-az^{-1}}$
- 仅当 $\lvert az^{-1}\rvert <1$ ，即 $\vert z\vert > \vert a \vert$ 时，其 z 变换存在。
- $\displaystyle \frac{z}{z-a}$
- 收敛域为 $\vert z\vert >\vert a \vert$ （某个圆之外）
注意：
- 双边z 变换必须标明收敛域
- 对单边z变换，其收敛域是某个圆外的区域，可省略。
结论：

$\begin{aligned}双边 F_b(z) + 收敛域 \longleftarrow & \longrightarrow f(k) \\ 单边 F(z) \longleftarrow & \longrightarrow f(k) \end{aligned}$

离散序列的收敛域情况分类

序列特性	收敛域特性	例 $f (k) =$
有限长序列	常为整个平面	$\delta(k),\;\varepsilon(k+1)-\varepsilon(k-2)$
因果序列	某个圆外区域	$a^k\varepsilon(k)$
反因果序列	某个圆内区域	$b^k\varepsilon(-k-1)$
双边序列	(若存在)环状区域	$\begin{aligned}\begin{cases}b^k,\; &k<0 \\ a^k ,\; & k\geq 0 \end{cases}, \vert a \vert < \vert b \vert \end{aligned}$
双边序列	(不存在)环状区域	$\begin{aligned}\begin{cases}a^k,\; &k<0 \\ b^k ,\; & k\geq 0 \end{cases}, \vert a \vert < \vert b \vert \end{aligned}$

8.1.3. 常用序列的z变换

$\begin{aligned} \displaystyle \delta(k) \longleftarrow & \longrightarrow 1,\; 整个 z 平面 \\ \delta(k-m) \longleftarrow & \longrightarrow z^{-m},\; \lvert z \rvert > 0 \\ \varepsilon(k)\longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-1},\; \lvert z \rvert > 1 \\ -\varepsilon(-k-1)\longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-1},\; \lvert z \rvert < 1 \\ a^k \varepsilon(k) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-a},\; \lvert z \rvert > \lvert a \rvert \\ -a^k \varepsilon(-k-1) \longleftarrow & \longrightarrow \frac{z}{z-a},\; \lvert z \rvert < \lvert a \rvert \\\end{aligned}$

8.1.4. z变换性质

说明：z变换性质，若无特殊说明，对单边和双边z变换均适用。

线性性质

若
$\begin{aligned} \displaystyle f_1(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_1(z),\; & 有常数a_1,a_2,\; \alpha_1<\lvert z \rvert <\beta_1 \\ f_2(k) \longleftarrow & \longrightarrow F_2(z),\; & 有常数a_1,a_2,\; \alpha_2<\lvert z \rvert <\beta_2 \\ a_1f_1(k) + a_2f_2(k) \longleftarrow & \longrightarrow a_1F_1(z) + a_2F_2(z) ,\;& \max(\alpha_1,\alpha_2)<\lvert z \rvert <\max(\beta_1, \beta_2)\\ \end{aligned}$