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7.3. 连续系统
7.3.1. 连续系统的s域框图
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积分器比微分器在电路中更稳定，所以不用微分器。
- 微分器更容易受到噪声的干扰 – 求导放大噪声
- 积分器累计作用可小的噪声干扰平乏
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步骤:
- 选择求和器的输出: X ( s ) X(s) X(s)
- 对求和器的输入 = = = 输入 列方程
- 整理
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例: 对如下系统列出微分方程:
- 解: 画出 s 域框图，设左边加法器输出为X(s), 如图:
X ( s ) = F ( s ) − 3 s − 1 X ( s ) − 2 s − 2 X ( s ) X(s) = F(s) - 3s^{-1} X(s) - 2s^{-2}X(s) X(s)=F(s)−3s−1X(s)−2s−2X(s)- 为 s 域的代数方程
X ( s ) = 1 1 + 3 s − 1 + 2 s − 2 F ( s ) X(s) = \frac{1}{1+3s^{-1} + 2s^{-2}}F(s) X(s)=1+3s−1+2s−21F(s)
Y ( s ) = X ( s ) + 4 s − 2 X ( s ) = 1 + 4 s − 2 1 + 3 s − 1 + 2 s − 2 F ( s ) = s 2 + 4 s 2 + 3 s + 2 F ( s ) \begin{aligned}Y(s) &= X(s)+4s^{-2}X(s)\\&= \frac{1+4s^{-2}}{1+3s^{-1}+2s^{-2}}F(s)\\& = \frac{s^2+4}{s^2+3s+2}F(s)\end{aligned} Y(s)=X(s)+4s−2X(s)=1+3s−1+2s−21+4s−2F(s)=s2+3s+2s2+4F(s) - 微分方程为
y ′ ′ ( t ) + 3 y ′ ( t ) + 2 y ( t ) = f ′ ′ ( t ) + 4 f ( t ) y^{\prime\prime}(t)+3y^\prime(t)+2y(t) = f^{\prime\prime}(t) + 4 f(t) y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=f′′(t)+4f(t)
- 为 s 域的代数方程
7.3.2. 连续系统的信号流图
-
系统方框图 简化的表示方法
- 用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图由 Mason 1953年提出的，它是用一些点和有向线段描述系统方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便，应用非常广泛。
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定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。
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信号流图中常用术语
- 结点 ：
信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。 - 支路和支路增益 ：
连接两个结点之间的有向线段称为支路。
每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）
即用一条有向线段表示一个子系统。 - 源点与汇点，混合结点 ：
仅有出支路的结点称为 源点（或输入结点）。
仅有入支路的结点称为 汇点 （或输出结点）。
有入有出的结点为 混合结点 。 - 通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路 ：
通路 －沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径。
开通路 －如果通路与任一结点相遇不多于一次。
闭通路 －若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次。
不接触回路 －相互没有公共结点的回路。
自回路 －只有一个结点和一条支路的回路。 - 前向通路，前向通路增益，回路增益 ：
前向通路 －从源点到汇点的开通路。
前向通路增益 －前向通路中各支路增益的乘积。
回路增益 －回路中各支路增益的乘积。
- 结点 ：
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信号流图的基本性质
- 信号只能沿支路箭头方向传输。
支路的输出 = = = 该支路的输入与支路增益的乘积。 - 当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
- 信号只能沿支路箭头方向传输。
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方框图 ⟷ \longleftrightarrow ⟷ 流图
注意：加法器前引入增益为1的支路 -
流图的基本规则
- 支路串联 ：支路增益相乘。
- 支路并联 ：支路增益相加。
- 混联：
- 支路串联 ：支路增益相乘。
7.3.2. 梅森 Mason 公式
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系统函数 H ( s ) H(s) H(s) 记为 H H H。
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梅森 Mason 公式为：
H = 1 Δ ∑ i P i Δ i H=\frac{1}{\Delta} \sum_{i} P_i \Delta_i H=Δ1i∑PiΔi- 流图的特征行列式
Δ = 1 − ∑ J L J + ∑ m , n L m L n − ∑ p , q , r L p L q L r + ⋯ \Delta = 1-\sum_J L_J + \sum_{m,n} L_mL_n - \sum_{p,q,r} L_pL_qL_r + \cdots Δ=1−J∑LJ+m,n∑LmLn−p,q,r∑LpLqLr+⋯ - L L L 回路（环）
- ∑ J L J \sum_J L_J ∑JLJ – 所有不同回路的增益之和
- ∑ m , n L m L n \sum_{m,n} L_mL_n ∑m,nLmLn – 所有两两不接触回路的增益乘积之和
- ∑ p , q , r L p L q L r \sum_{p,q,r} L_pL_qL_r ∑p,q,rLpLqLr – 所有三三不接触回路的增益乘积之和
- i i i 表示由源点到汇点的第 i i i 条前向通路的标号
- P i P_i Pi是由源点到汇点的第 i i i 条前向通路增益
- Δ i \Delta_i Δi 称为第 i i i 条前向通路的剩余特征行列式 (消去接触回路)
- 流图的特征行列式
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例：求下列信号流图的系统函数
- 首先找出所有回路:
L 1 = H 3 G L 2 = 2 H 1 H 2 H 3 H 5 L 3 = H 1 H 4 H 5 \begin{aligned}L_1 &= H_3 G \\L_2 &= 2H_1 H_2 H_3 H_5\\ L_3 &= H_1 H_4 H_5\end{aligned} L1L2L3=H3G=2H1H2H3H5=H1H4H5- 两两不相接触 L 1 ⋅ L 3 L_1\cdot L_3 L1⋅L3
- 求特征行列式:
Δ = 1 − ( H 3 G + 2 H 1 H 2 H 3 H 5 + H 1 H 4 H 5 ) + H 3 G H 1 H 4 H 5 \Delta = 1 - (H_3 G + 2H_1 H_2 H_3 H_5 + H_1 H_4 H_5) + H_3GH_1H_4H_5 Δ=1−(H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5)+H3GH1H4H5 - 然后找出所有的前向通路
P 1 = 1 ⋅ 2 H 1 H 2 H 3 ⋅ 1 P 2 = 1 ⋅ H 1 H 4 ⋅ 1 \begin{aligned}P_1 &= 1\cdot 2H_1 H_2 H_3 \cdot 1 \\ P_2 &= 1\cdot H_1 H_4 \cdot 1 \\ \end{aligned} P1P2=1⋅2H1H2H3⋅1=1⋅H1H4⋅1 - 求各前向通路的余因子
Δ 1 = 1 Δ 2 = 1 − G H 3 \begin{aligned}\Delta_1 &= 1 \\ \Delta_2 &= 1-GH_3\\\end{aligned} Δ1Δ2=1=1−GH3
H = 1 Δ ( P 1 Δ 1 + P 2 Δ 2 ) H = \frac{1}{\Delta}(P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2) H=Δ1(P1Δ1+P2Δ2)
- 首先找出所有回路:
7.4. 连续系统的模拟
- 若已知 H ( s ) H(s) H(s), 给出系统模拟
7.3.3. 直接形式
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利用 Mason 公式来实现
-
思路:
- 构造单环: ∑ j L j \sum_j L_j ∑jLj
- 构造通路: 去掉 P i P_i Pi, Δ i = 1 \Delta_i =1 Δi=1
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例:
H ( s ) = b 2 s 2 + b 1 s + b 0 s 2 + a 1 s + a 0 H(s) = \frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2 + a_1s + a_0} H(s)=s2+a1s+a0b2s2+b1s+b0- 画出系统信号流图
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解:
H ( s ) = b 2 + b 1 s + b 0 s 2 1 − ( − a 1 s − a 0 s 2 ) − ∑ L J H(s) = \frac{b_2 + \frac{b_1}{s} + \frac{b_0}{s^2}}{1{\color{blue}-\underset{-\sum L_J}{(-\frac{a_1}{s} - \frac{a_0}{s^2})}}} H(s)=1−−∑LJ(−sa1−s2a0)b2+sb1+s2b0
- 由梅森公式：流图包含3条开路和两个相接触环。
- 两形式都有公用通路点
7.3.4. 级联形式
- 例:
H ( s ) = s + 1 ( s 2 + 5 s + 6 ) ( s + 4 ) = s + 1 s 2 + 5 s + 6 ⋅ 1 s + 4 = H 1 ( s ) ⋅ H 2 ( s ) H 1 ( s ) = s + 1 s 2 + 5 s + 6 = 1 s + 1 s 2 1 − ( − 5 s − 6 s 2 ) H 2 ( s ) = 1 s + 4 = 1 s 1 − ( − 4 s ) \begin{aligned}H(s) & = \frac{s+1}{(s^2 +5s +6)(s+4)}\\ & = \frac{s+1}{s^2+5s+6} \cdot \frac{1}{s+4} \\& = H_1(s) \cdot H_2(s) \\ H_1(s) &= \frac{s+1}{s^2+5s+6} \\ & = \frac{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}}{1-(-\frac{5}{s}-\frac{6}{s^2})}\\ H_2(s) & = \frac{1}{s+4}\\ & = \frac{\frac{1}{s}}{1-(-\frac{4}{s})} \end{aligned} H(s)H1(s)H2(s)=(s2+5s+6)(s+4)s+1=s2+5s+6s+1⋅s+41=H1(s)⋅H2(s)=s2+5s+6s+1=1−(−s5−s26)s1+s21=s+41=1−(−s4)s1
7.3.5. 并联形式
- 例:
H ( s ) = s + 5 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) = 2 s + 1 + − 3 s + 2 + 1 s + 3 = H 1 ( s ) + H 2 ( s ) + H 3 ( s ) H 1 ( s ) = 2 s + 1 = 2 / s 1 − ( − 1 / s ) H 2 ( s ) = − 3 s + 2 = − 3 / s 1 − ( − 2 / s ) H 3 ( s ) = 1 s + 3 = 1 / s 1 − ( − 3 / s ) \begin{aligned}H(s) & = \frac{s+5}{(s+1)(s+2)(s+3)}\\ & = \frac{2}{s+1} + \frac{-3}{s+2}+\frac{1}{s+3} \\& = H_1(s) + H_2(s)+H_3(s) \\ H_1(s) &= \frac{2}{s+1} \\ & = \frac{2/s}{1-(-1/s)}\\ H_2(s) & = \frac{-3}{s+2}\\ & = \frac{-3/s}{1-(-2/s)} \\ H_3(s) & = \frac{1}{s+3}\\ & = \frac{1/s}{1-(-3/s)} \end{aligned} H(s)H1(s)H2(s)H3(s)=(s+1)(s+2)(s+3)s+5=s+12+s+2−3+s+31=H1(s)+H2(s)+H3(s)=s+12=1−(−1/s)2/s=s+2−3=1−(−2/s)−3/s=s+31=1−(−3/s)1/s
7.4. 零极点配置
7.4.1. 零极点配置的作用
-
极点增强效益
H ( j ω ) = K ( j ω − P 1 ) ( j ω − P 2 ) H(j\omega) = \frac{K}{(j\omega - P_1)(j\omega -P_2)} H(jω)=(jω−P1)(jω−P2)K
H ( j ω ) = K d ⋅ d ′ ∠ − θ 1 − θ 2 H(j\omega) = \frac{K}{d\cdot d'}\angle -\theta_1 - \theta_2 H(jω)=d⋅d′K∠−θ1−θ2
∣ H ( j ω ) ∣ ↑ = K d ⋅ d ′ ↓ \lvert H(j\omega) \rvert\uparrow = \frac{K}{d\cdot d'\downarrow} ∣H(jω)∣↑=d⋅d′↓K- 假定系统函数只有一个极点
p
=
−
α
+
j
ω
0
p=-\alpha + j\omega_0
p=−α+jω0 , 如图 (a) 所示。为了对某值
ω
\omega
ω 求其幅度
∣
H
(
j
ω
)
∣
\lvert H(j\omega)\rvert
∣H(jω)∣ ，将该极点
p
p
p 连到虚轴上的
j
ω
j\omega
jω 点，假定该线段的长度是
d
d
d ，那么
∣
H
(
j
ω
)
∣
\lvert H(j\omega)\rvert
∣H(jω)∣ 应正比于
1
/
d
1/d
1/d:
∣ H ( j ω ) ∣ = K d \lvert H(j\omega)\rvert = \frac{K}{d} ∣H(jω)∣=dK
- 假定系统函数只有一个极点
p
=
−
α
+
j
ω
0
p=-\alpha + j\omega_0
p=−α+jω0 , 如图 (a) 所示。为了对某值
ω
\omega
ω 求其幅度
∣
H
(
j
ω
)
∣
\lvert H(j\omega)\rvert
∣H(jω)∣ ，将该极点
p
p
p 连到虚轴上的
j
ω
j\omega
jω 点，假定该线段的长度是
d
d
d ，那么
∣
H
(
j
ω
)
∣
\lvert H(j\omega)\rvert
∣H(jω)∣ 应正比于
1
/
d
1/d
1/d:
-
零点抑制效益
H ( j ω ) = ( j ω − ζ 1 ) ( j ω − ζ 2 ) A ( j ω ) H(j\omega) = \frac{(j\omega - \zeta_1)(j\omega - \zeta_2)}{A(j\omega)} H(jω)=A(jω)(jω−ζ1)(jω−ζ2)
∣ H ( j ω ) ∣ ↓ ∝ ( r , r ′ ) ↓ \lvert H(j\omega)\rvert\downarrow \propto (r,r')\downarrow ∣H(jω)∣↓∝(r,r′)↓
- 适当配置零极点对，可以互相抵消在频率响应上的影响，因此，可以利用这些不同的频率选择特性，来观察结果，设计低通、高通、带通和带阻（陷波）滤波器。
7.4.2. 低通滤波器中零极点的配置
-
一个典型的低通滤波器在 ω = 0 \omega = 0 ω=0 处 有最大增益。 由于一个极点在它的邻近频率上能使增益增强，所以需要在左半实轴上配置一个（或多个）极点，如图 (a)所示。该系统的系统函数是:
H ( s ) = ω c s + ω c H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c} H(s)=s+ωcωc
显然
∣ H ( j ω ) ∣ = ω c d \lvert H(j\omega)\rvert = \frac{\omega_c}{d} ∣H(jω)∣=dωc
d d d 是极点 − ω c -\omega_c −ωc 到虚轴上点 j ω j\omega jω 的距离, 且有 H ( 0 ) = 1 H(0)=1 H(0)=1。 -
当 ω \omega ω 增加， d d d 也增大, ∣ H ( j ω ) ∣ \lvert H(j\omega)\rvert ∣H(jω)∣ 单调减少，如图 © 中的 N = 1 N=1 N=1 的曲线所示。其在 ω = 0 \omega = 0 ω=0 附近增益被增强。
-
可以证明，为了实现在频带 0 ∼ ω c 0\sim \omega_c 0∼ωc 上所有频率都要增强增益，就需要在左半平面配置无穷多个极点，这些极点位于图 (b) 所示的半圆形墙上，也称 极点墙。
-
对于不同极点个数 N N N 的幅度响应如图 ©所示，随着极点个数 N → ∞ N\to \infty N→∞ ，滤波器接近于理想的。这一类理想滤波器即为 巴特沃茨(Butterworth)滤波器 。
7.4.3. 带通滤波器中零极点的配置
- 阴影特性表示理想带通滤波器的增益，增益在通带内被增强。实现方法为：在左半平面内面对虚轴，以 j ω 0 j\omega_0 jω0 和 − j ω 0 -j\omega_0 −jω0 分别为中心配置一堵极点墙，极点墙上所有极点均为共轭极点。理想情况需要无穷多个极点，实际上是用有限个极点去交换一个可以接受的非理想特性。
7.4.4. 带阻滤波器中零极点的配置
-
一个理想陷波滤波器的幅度响应（图(b)的阴影部分），与理想带通滤波器的幅度响应刚好相反。以一个二阶陷波滤波器为例，
- 要求在 ω = ω 0 \omega = \omega_0 ω=ω0 处得到零增益，为此，必须在 ± j ω 0 \pm j\omega_0 ±jω0 有零点。
- 要求在 ω = ∞ \omega = \infty ω=∞ 增益为 1 1 1 ，就需要极点个数等于零点个数，这就保证了对于 ω = ∞ \omega = \infty ω=∞, 极点到 ω = ∞ \omega=\infty ω=∞ 的距离乘积一定等于零点到 ω = ∞ \omega = \infty ω=∞ 的距离乘积。
- 要求 ω = 0 \omega=0 ω=0 的增益为 1 1 1，就需要配置与原点等距离的零点和相应极点，如果采用一对共轭零点，就必须有两个相应极点，并且极点、零点到原点的距离是相同的。此时，只要将两个共轭极点配置在以 ω 0 \omega_0 ω0 为半径的半圆上就能满足这个要求，如图 (a)所示。极点可以位于这个半圆上的任意位置处，均能满足等距离的条件，假定与负实轴成 ± θ \pm \theta ±θ 。
- 由于邻近的极点和零点有相互抵消影响的倾向，故将极点尽可能放置在靠近零点处（ θ \theta θ 接近 π / 2 \pi/2 π/2 ），这样保证当频率从 ω = ω 0 \omega=\omega_0 ω=ω0 向两边稍有变化时，增益能从 0 0 0 到 1 1 1 有一个急剧的恢复，图 (b)是三种不同的 θ \theta θ 增益。
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