信号与系统(Python) 学习笔记 (7.1) 电路与系统函数 -- 连续系统

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#信号处理

本文深入探讨了信号流图的构建与分析，包括连续系统的s域框图、信号流图的基本概念、梅森公式及其在系统函数计算中的应用。同时，介绍了连续系统模拟的不同形式，如直接形式、级联形式和并联形式，以及零极点配置在滤波器设计中的作用。

文章目录

7.3. 连续系统

7.3.1. 连续系统的s域框图

s域框图

积分器比微分器在电路中更稳定，所以不用微分器。
- 微分器更容易受到噪声的干扰 – 求导放大噪声
- 积分器累计作用可小的噪声干扰平乏
步骤:
1. 选择求和器的输出: $X (s)$
2. 对求和器的输入 $=$ 输入列方程
3. 整理
例: 对如下系统列出微分方程:

解: 画出 s 域框图，设左边加法器输出为X(s), 如图:
$X(s) = F(s) - 3s^{-1} X(s) - 2s^{-2}X(s)$
- 为 s 域的代数方程
  $\frac{1}{1+3s^{-1} + 2s^{-2}}F(s)$
  $\begin{aligned}Y(s) &= X(s)+4s^{-2}X(s)\\&= \frac{1+4s^{-2}}{1+3s^{-1}+2s^{-2}}F(s)\\& = \frac{s^2+4}{s^2+3s+2}F(s)\end{aligned}$
- 微分方程为
  $y^{\prime\prime}(t)+3y^\prime(t)+2y(t) = f^{\prime\prime}(t) + 4 f(t)$

7.3.2. 连续系统的信号流图

系统方框图简化的表示方法
- 用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图由 Mason 1953年提出的，它是用一些点和有向线段描述系统方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便，应用非常广泛。
定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。
信号流图中常用术语
1. 结点：
  信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。
2. 支路和支路增益：
  连接两个结点之间的有向线段称为支路。
  每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）
  
  即用一条有向线段表示一个子系统。
3. 源点与汇点，混合结点：
  仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。
  仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。
  有入有出的结点为混合结点。
4. 通路、开通路、闭通路、不接触回路、自回路：
  通路－沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径。
  开通路－如果通路与任一结点相遇不多于一次。
  闭通路－若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次。
  不接触回路－相互没有公共结点的回路。
  自回路－只有一个结点和一条支路的回路。
5. 前向通路，前向通路增益，回路增益：
  前向通路－从源点到汇点的开通路。
  前向通路增益－前向通路中各支路增益的乘积。
  回路增益－回路中各支路增益的乘积。
信号流图的基本性质
1. 信号只能沿支路箭头方向传输。
  支路的输出 $=$ 该支路的输入与支路增益的乘积。
2. 当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
方框图 $\longleftrightarrow$ 流图
注意：加法器前引入增益为1的支路
流图的基本规则
1. 支路串联：支路增益相乘。
2. 支路并联：支路增益相加。
3. 混联：

7.3.2. 梅森 Mason 公式

系统函数 $H (s)$ 记为 $H$ 。
梅森 Mason 公式为：
$H=\frac{1}{\Delta} \sum_{i} P_i \Delta_i$
- 流图的特征行列式
  $\Delta = 1-\sum_J L_J + \sum_{m,n} L_mL_n - \sum_{p,q,r} L_pL_qL_r + \cdots$
- $L$ 回路（环）
- $\sum_J L_J$ – 所有不同回路的增益之和
- $\sum_{m,n} L_mL_n$ – 所有两两不接触回路的增益乘积之和
- $\sum_{p,q,r} L_pL_qL_r$