信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (1) 信号简介 Intro

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  • 【总目录】信号与系统 学习笔记 Signals and Systems with Python
  • (1) 简介 Intro
  • (2) 傅里叶 Fourier
    • 常用函数的傅里叶变换汇总
  • (3) LTI 系统 与 滤波器
• 1. Introduction
  • 1.1. 周期信号
    • 1.1.1. 连续信号周期
    • 1.1.2. 离散信号周期
    • 1.1.3. 信号的 Python 表示与绘图
  • 1.2. 信号分类
    • 1.2.1. 能量信号
    • 1.2.2. 功率信号
    • 1.2.3. 因果信号
    • 1.2.4. 反因果信号
    • 1.2.5. 其他类型
    • 1.2.6. Remark
  • 1.3. 冲激函数
    • 1.3.1. 单位冲激函数 Dirac delta function
    • 1.3.2. 阶跃函数
    • 1.3.3. 广义函数定义
    • 1.3.4. 取样性质
    • 1.3.5. 导数
    • 1.3.6. 尺度变化
  • 1.4. LTI 连续系统
    • 1.4.1. 微分方程的经典解法
    • 1.4.2. 初始值
    • 1.4.3. 响应
    • 1.4.4. Python 求解系统的响应
    • 1.4.5. 冲激响应
    • 1.4.6. 阶跃响应
    • 1.4.7. Python 冲激响应与阶跃响应
    • 1.4.8. 卷积积分 Convolution
    • 1.4.9. Python 求卷积积分
    • 1.4.10. 连续系统的算子 P
  • 1.5. 差分方程
    • 1.5.1. 定义
    • 1.5.2. 经典解法
    • 1.5.3. 初始值
    • 1.5.4. 响应
    • 1.5.5. Python 求解离散系统的零状态响应
    • 1.5.6. 单位脉冲序列
    • 1.5.7. 单位阶跃序列
    • 1.5.8. 单位脉冲响应
    • 1.5.9. 单位阶跃响应
    • 1.5.10. Python 求解单位脉冲响应
    • 1.5.11. 卷积和
    • 1.5.12. Python 求卷积和
    • 1.5.13. 差分算子 E
• 信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier

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1. Introduction

1.1. 周期信号

• Period Signal

1.1.1. 连续信号周期

• 连续周期信号 $f(t)$, 周期为 $T$, 满足
  $$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$
  • 典型周期连续信号: 余弦信号 $\cos \omega t$ 周期为 $T=\frac{2\pi }{\omega }(s)$

1.1.2. 离散信号周期

• 离散周期信号 $f(k)$, 周期为 $N$, 满足
  $$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

1.1.3. 信号的 Python 表示与绘图

• 连续信号 $f(t)=5e^{-0.8t}\sin (\pi t),0<t<5$ 绘图

    # 导入 需要的 library 库  
    import numpy as np # 科学计算
    import matplotlib.pyplot as plt # 画图
    import scipy.signal as sg # 导入 scipy 的 signal 库 命名为 sg

    a,b = 0.8,5
    t = np.linspace(0,5,100) # 另一种表达式 t = np.mgrid[0:5:0.01]
    y = b*np.exp(-a*t)*np.sin(np.pi*t)
    plt.xlabel('time')
    plt.ylabel('Y')
    plt.plot(t,y)
    plt.grid(True)
    plt.show()

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1.2. 信号分类

• 将信号 $f(t)$ 施加于 $1\Omega$ 电阻上， 所消耗的瞬时功率为 $|f(t){|}^2$, 在区间 $(-\infty ,\infty )$ 的能量和平均功率定义为
  $$E\stackrel{def}{=}{\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt$$
  $$P\stackrel{def}{=}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|f(t){|}^{2}dt$$

1.2.1. 能量信号

• 能量有限信号: 信号的能量 $E<\infty$ , 简称 能量信号 , 此时 $P=0$.
  • 离散: $E=\sum _{k=-\infty }^{\infty }|f(k){|}^2<\infty$

1.2.2. 功率信号

• 功率有限信号: 信号的功率 $P<\infty$ , 简称 功率信号 , 此时 $E=\infty$.
  • 离散: $P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=-N/2}^{N/2}|f(k){|}^2<\infty$

1.2.3. 因果信号

• 因果信号: $t<0,f(t)=0$ 的信号
  • 例如: 阶跃信号

1.2.4. 反因果信号

• 反因果信号: $t\le 0,f(t)=0$ 的信号

1.2.5. 其他类型

• 一维信号， 多维信号； 实信号，复信号； 左信号， 右信号。。。。。。

1.2.6. Remark

1. 时限信号为能量信号
2. 周期信号为功率信号
3. 非周期信号 可能为能量也可能为功率信号
4. $f(t)=e^t$ 既不是能量也不是功率信号

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1.3. 冲激函数

$$\begin{array}{r}\delta (x)\stackrel{def}{=}\{\begin{array}{ll}0,& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}\end{array}$$

1.3.1. 单位冲激函数 Dirac delta function

• 单位冲激函数: 奇异函数, 强度极大, 作用时间极短的物理量的理想化模型
  $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\delta (x)=0,& x\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1& \end{array}\end{array}$$
  • aka Dirac delta function
  • 高度无穷大, 宽度无穷小, 面积为 1 的对称窄脉冲

1.3.2. 阶跃函数

• 阶跃函数:
  $$\epsilon (t)\stackrel{def}{=}\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t>0\end{array}$$
  • 积分: ${\int }_{-\infty }^t\epsilon (\tau )d\tau =t\cdot \epsilon (t)$
  • 与 冲激函数 关联:
    • $\delta (t)=\frac{d\epsilon (t)}{dt}$
    • $\epsilon (t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$

1.3.3. 广义函数定义

• Dirac Delta function 广义函数定义:
  $${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\phi (t)dt=\phi (0)$$
  • 冲激函数 $\delta (t)$ 作用于检验函数 $\phi (t)$ 的结果是赋值为 $\phi (0)$, 称为 冲激函数的取样性质。
  • 例如:
    • 高斯函数 $\delta (t)={\lim }_{b\to \infty }b{e}^{-\pi (b\cdot t{)}^2}$
    • 取样函数 $\delta (t)={\lim }_{b\to \infty }\frac{\sin (bt)}{\pi t}$

1.3.4. 取样性质

• Dirac Delta function 取样性质:
  $$f(t)\delta (t-a)=f(a)\delta (t-a)⟶f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$
  $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-a)dt=f(a)⟶{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0)$$
  • Notice: 积分区间要包含 $t=a$

1.3.5. 导数

• Dirac Delta function 导数:
  • 冲激偶 ${\delta }^{\prime }(t)$:
    $$f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$$
    $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-f^{\prime }(0)$$
    $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t-a)dt=-f^{\prime }(a)$$
    $${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{(n)}(t)dt=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$

1.3.6. 尺度变化

• Dirac Delta function 尺度变化:
  $$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$
  $${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^{(n)}(t)$$

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1.4. LTI 连续系统

$$f(t)\to \text{LTI (linear time-invariant systems)}\to y(t)$$

1.4.1. 微分方程的经典解法

$$\begin{gathered} y^{(n)}(t)+a_{n-1}{y}^{(n-1)}(t)+\cdots +a_1{y}^{(1)}(t)+a_{0}y(t) \\ =b_m{f}^{(m)}(t)+b_{m-1}{f}^{(m-1)}(t)+\cdots +b_1{f}^{(1)}(t)+b_{0}f(t) \end{gathered}$$

• 经典解法: $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$

  • $y(t)$ 完全解
  • $y_h(t)$ 齐次解 homogeneous solution
  • $y_p(t)$ 特解

• 特征根: eigenvalue 特征值
  $${\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_0=0\to {\lambda }_i(i=1,2,\dots ,n)$$

1.4.2. 初始值

• 初始值: 是n阶系统在 $t=0$ 时接入激励, 其响应在 $t=0_{+}$ 时刻的值, 即 $y^{(j)}(0_{+})(j=0,1,2,\dots ,n-1)$

• 初始状态: 是系统在激励尚未接入的 $t=0_{-}$ 时刻的响应值 $y^{(j)}(0_{-})$, 该值反映了系统的历史情况，且与激励无关。

1.4.3. 响应

$$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$$

• 零输入响应: $y_{zi}(t)$ (zero input)

• 零状态响应: y z s ( t ) y_{zs}(t) y