Newcoder 39 A.约数个数的和(水~)

本文探讨了一种高效算法,用于计算从1到n范围内所有整数的约数个数总和。通过分块加速技术,该算法能在短时间内得出精确结果,适用于n值高达10^8的情况。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description

给个nnn,求111nnn的所有数的约数个数的和~

Input

第一行一个正整数nnn

(1≤n≤108)(1\le n\le 10^8)(1n108)

Output

输出一个整数,表示答案

Sample Input

3

Sample Output

5

Solution

ans=∑i=1n⌊ni⌋ans=\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloorans=i=1nin,分块加速或者直接求都行

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	ll ans=0;
	for(int i=1,pre;i<=n;i=pre+1)
	{
		pre=n/(n/i);
		ans+=1ll*(n/i)*(pre-i+1);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

### 计算一个数的所有约数及其总计算一个数的所有约数以及它们的总,可以通过遍历该数的所有可能因数来实现。以下是具体的算法描述: #### 约数定义 对于给定的一个正整数 \( n \),它的约数是指能够整除 \( n \) 的所有正整数。通过带余除法的概念[^2],我们可以判断某个数 \( i \) 是否为 \( n \)约数:如果 \( n \% i == 0 \),则 \( i \) 是 \( n \)约数。 #### 实现方法 为了提高效率,我们只需要检查从 1 到 \( \sqrt{n} \) 范围内的所有整数即可。这是因为任何大于 \( \sqrt{n} \)约数都可以通过对较小约数取商的方式找到。 下一个 Python 程序示例,用于计算一个数的所有约数及其总: ```python def find_divisors_and_sum(n): divisors = [] divisor_sum = 0 for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1): # 遍历到 sqrt(n) if n % i == 0: # 如果能整除,则 i n//i 均为约数 divisors.append(i) divisor_sum += i if i != n // i: # 防止重复加入平方根的情况 divisors.append(n // i) divisor_sum += n // i return sorted(divisors), divisor_sum # 测试函数 number = 28 divisors, total_sum = find_divisors_and_sum(number) print(f"{number} 的所有约数为: {divisors}") print(f"{number} 的约数为: {total_sum}") ``` 上述代码中,`find_divisors_and_sum` 函数实现了以下功能: 1. 初始化 `divisors` 数组存储所有的约数。 2. 使用循环从 1 开始直到 \( \sqrt{n} \)[^2],逐一检查当前数值是否为 \( n \)约数。 3. 对于每一个满足条件的 \( i \),将其及对应的配对值 \( n/i \) 添加至列表中,并累加到总变量 `divisor_sum` 中。 4. 返回按升序排列后的约数数组与最终的约数。 运行此程序会输出如下结果(以 28 为例): ``` 28 的所有约数为: [1, 2, 4, 7, 14, 28] 28 的约数为: 56 ``` 这里需要注意的是,在某些情况下,\( n \) 可能正好是某数的完全平方数,此时需特别注意不要重复计入相同的约数。 #### 完美数验证 利用上的方法还可以进一步扩展应用范围,比如检测一个数是否为完美数。只需比较所得的约数(去掉自身作为因子的部分)是否等于原数即可[^4]。 ---
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