Newcoder 70 E.乌龟跑步（dp）

最新推荐文章于 2020-07-28 22:00:40 发布

v5zsq

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分类专栏： Newcoder dp

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本文探讨了一道经典的算法题目，涉及一只乌龟遵循特定指令序列移动的问题。目标是在允许修改一定数量指令的前提下，使乌龟离起点的距离最大化。文章详细解析了动态规划解决方案，并附带实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有一只乌龟，初始在 $0$ 的位置向右跑。

这只乌龟会依次接到一串指令，指令 $T$ 表示向后转，指令 $F$ 表示向前移动一个单位。乌龟不能忽视任何指令。

现在我们要修改其中正好 $n$ 个指令（一个指令可以被改多次，一次修改定义为把某一个 $T$ 变成 $F$ 或把某一个 $F$ 变成 $T$ ）。

求这只乌龟在结束的时候离起点的最远距离。（假设乌龟最后的位置为 $x$ ，我们想要 $∣ x ∣$ 最大，输出最大的 $∣ x ∣$ ）

Input

第一行一个字符串 $c$ 表示指令串。 $c$ 只由 $F$ 和 $T$ 构成。

第二行一个整数 $n$ 。

$(1≤∣c∣≤100,1≤n≤50)(1\le |c|\le 100, 1\le n\le 50)$

Output

一个数字表示答案。

Sample Input

FT
1

Sample Output

Solution

令 $d p [i] [j] [k] [l]$ 表示前 $i$ 步走到 $j$ 位置（ $j∈[−m,m]j\in[-m,m]$ ，其中 $m = ∣ c ∣$ )，修改了 $k$ 次且当前方向为正/反方向 $(l = 0 / 1)$ 的这种方案是否存在，若存在，则第 $i + 1$ 步有两种选择，要么不修改要么修改一次，进而有
$\begin{array}{lcl} dp[i+1][j+l?-1:1][k][l]=1,c_{i+1}=F\\ dp[i+1][j][k][1-l]=1,c_{i+1}=T\\ dp[i+1][j+l?-1:1][k][l]=1,c_{i+1}=T,k<n\\ dp[i+1][j][k][1-l]=1,c_{i+1}=F,k<n\\ \end{array}$
最后找到使得 $d p [m] [j] [k] [l] = 1$ 且 $j, n$ 奇偶性相同的 $∣ j ∣$ 最大值即为答案，时间复杂度 $O(m^2n)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
char s[105];
int n,dp[105][205][55][2];
int main()
{
	scanf("%s%d",s,&n);
	int m=strlen(s);
	dp[0][m][0][0]=1;
	for(int i=0;i<m;i++)
		for(int j=-m;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=n;k++)
				for(int l=0;l<=1;l++)
					if(dp[i][j+m][k][l])
					{
						if(s[i]=='F')dp[i+1][j+(l?-1:1)+m][k][l]=1;
						else dp[i+1][j+m][k][l^1]=1;
						if(k<n)
						{
							if(s[i]=='F')dp[i+1][j+m][k+1][l^1]=1;
							else dp[i+1][j+(l?-1:1)+m][k+1][l]=1;
						}
					}
	int ans=0;
	for(int i=-m;i<=m;i++)
		for(int j=0;j<=n;j++)
			for(int k=0;k<=1;k++)
				if(dp[m][i+m][j][k]&&(n-j)%2==0)
					ans=max(ans,abs(i));
	printf("%d\n",ans);	
	return 0;
}