Newcoder 109 F.玩游戏（博弈论）

Description

给定两个串$S$和$T$，$|S|\ge |T|$。

$alice$和$bob$轮流操作串$S$，$bob$先手。

对于每次操作，$alice$或$bob$会选择删掉$S$的第一位或最后一位。

当操作以后的串的长度等于$|T|$时，游戏停止。

如果停止时的串$=T$，则$alice$获胜，否则$bob$获胜。

问在$alice$和$bob$均采取最优策略的情况下，谁赢？

Input

第一行一个整数$T$表示数据组数。

接下来$T$行每行两个整数字符串$S,T$。

$(T\le 1000,1\le |T|\le |S|\le 5\cdot 10^5,\sum (|S|+|T|)\le 10^6)$

Output

$T$行。对于每组数据，$alice$赢输出${}^{\prime }Alic{e}^{\prime }$,$ bob$赢输出$’Bob’$。

Sample Input

5
aba b
bab b
aaab aab
xyz mnk
xyz xyz

Sample Output

Alice
Alice
Bob
Bob
Alice

Solution

一.若$|S|=|T|$，此时$S=T$则后手胜，否则先手胜

二.若$|S|>|T|$，记$n=|S|,m=|T|,t=n-m$，那么先手可以操作$x=\lceil \frac{t}{2}\rceil$次，后手可以操作$y=\lfloor \frac{t}{2}\rfloor$次，记$[l_i,r_i]$为$S$中所有可以与$T$匹配的区间，那么有$l_i-1+n-r_i=t$

1.若$t$为偶数，那么$x=y$，我们首先证明先手必然可以破坏所有满足$l_i-1̸\in [x-1,x+1]$的匹配，先手首先任选一边删去一个，之后后手删哪边先手就删另一边，这样可以保证两边都至少删去了$x-1$次，那么所有这种匹配都会因为$l_i-1<x-1$或$n-r_i<x-1$被破坏

注意到先手可以破坏一边至多$x$次，故对于$l_i-1=x$的匹配显然可以保存下来，但是对于$l_i-1=x\pm 1$的情况，如果只存在一个匹配满足该条件，那么先手只需尽可能删除一边即可破坏该匹配，故此时必须至少存在两个匹配使得$l_i-1=x-1,l_j-1=x+1$，如此先手无论怎么删都至少会有一个匹配保存下来

2.若$t$为奇数，那么$x=y+1$，同理至少需要两个匹配使得$l_i-1=x,l_j-1=x+1$，这样先手无论删哪一边，只要后手删另一边，就可以保证至少有一个匹配保存下来

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500005;
int T,n,m;
char s[maxn],t[maxn];
bool check(int x)
{
	for(int i=x+1,j=1;j<=m;i++,j++)
		if(s[i]!=t[j])return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s%s",s+1,t+1);
		n=strlen(s+1),m=strlen(t+1); 
		int flag=0;
		if(n==m)
		{
			if(strcmp(s+1,t+1)==0)flag=1;
		}
		else
		{
			if((n-m)&1)
			{
				if(check((n-m)/2)&&check((n-m)/2+1))flag=1;
			}
			else 
			{
				if(check((n-m)/2)||check((n-m)/2-1)&&check((n-m)/2+1))flag=1;
			}
		}
		if(flag)printf("Alice\n");
		else printf("Bob\n");
	}
	return 0;
}