Newcoder 109 C.操作数（组合数学）_平日里写hashhashhash的时候-优快云博客

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本文探讨了在特定数组操作下，如何通过递推公式计算多次操作后的数组状态。介绍了预处理组合数的方法，以及如何利用O(n^2)的时间复杂度解决该问题。示例代码展示了完整的算法实现。

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Description

给定长度为 $n$ 的数组 $a$ ，定义一次操作为：

1.算出长度为 $n$ 的数组 $s$ ，使得 $109+7)s_i=\sum\limits_{j=1}^ia_j(mod\ 10^9+7)$

2.执行 $a = s$ ；

现在问 $k$ 次操作以后 $a$ 长什么样。

Input

第一行两个整数 $n ， k$

第二行 $n$ 个整数表示 $a$ 数组

$(1≤n≤2000,0≤k,ai≤109)(1\le n\le 2000,0\le k,a_i\le 10^9)$

Output

一行 $n$ 个整数表示答案。

Sample Input

3 1
1 2 3

Sample Output

1 3 6

Solution

简单递推可知 $si=∑j=1iai⋅Ci−j+k−1i−js_i=\sum\limits_{j=1}^ia_i\cdot C_{i-j+k-1}^{i-j}$ ，令 $b_i=C_{i+k-1}^{i}$ ，由于 $i$ 不超过 $2000$ ，故可以 $O(n^2)$ 预处理 $b_i$ 然后 $O(n^2)$ 求出 $s_1,...,s_n$ 即可

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2005;
#define mod 1000000007
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
} 
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int n,k,a[maxn],b[maxn],inv[maxn],s[maxn];
void init(int n=2000)
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(inv[i],inv[i-1]);
}
int C(int n,int m)
{
	int ans=inv[m];
	for(int i=1;i<=m;i++)ans=mul(ans,(n-m+i)%mod);
	return ans;
}
int get(int x,int k)
{
	if(x==0)return 1;
	if(k==0)return 0;
	return C(x+k-1,x);
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=0;i<n;i++)b[i]=get(i,k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			s[i]=add(s[i],mul(a[j],b[i-j]));
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d%c",s[i],i==n?'\n':' ');
	return 0;
}