Newcoder 130 C.黑妹的游戏III（数论）

最新推荐文章于 2020-03-07 18:04:42 发布

v5zsq

最新推荐文章于 2020-03-07 18:04:42 发布

阅读量338

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： Newcoder 数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/82949045

数论同时被 2 个专栏收录

201 篇文章

订阅专栏

Newcoder

186 篇文章

订阅专栏

探讨了一种针对游戏序列的特殊操作，旨在通过一系列步骤将序列中元素的乘积降至最低，同时提供了详细的算法解决方案及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

黑妹又开始玩起了一个游戏，这次她面对的是一个序列，序列里的每个数字都是正整数，黑妹每次可以从这个序列里选择两个数字，然后将这两个数字除以它们任意一个公共因子。
如果 $x$ 是 $a$ 和 $b$ 的公共因子，当且仅当 $a$ 和 $b$ 都能被 $x$ 整除。
黑妹很快玩腻了这些操作，她现在想知道，这个序列经过一些操作之后，将新序列的每个元素都乘起来的最小乘积是多少，由于这个乘积可能很大，所以你需要告诉黑妹这个乘积对 $10^9+7$ 取模之后的值。

Input

第一行一个整数 $T$ 表示数据的组数。

对于每组数据：

第一行 $n$ 表示序列的长度。

接下来一行 $n$ 个整数 $a_i$ 表示序列的每个元素。

$(1≤T≤10,1≤n≤10000,1≤ai≤108)(1\le T\le 10,1\le n\le 10000,1\le a_i\le 10^8)$

Output

对于每组数据输出一行表示答案。

Sample Input

3
3
1 2 3
4
8 8 9 9
5
4 8 12 18 22

Sample Output

6
1
66

Solution

对于每个素因子单独考虑，假设素因子 $p$ 在 $a_1,...,a_n$ 中的幂指数分别为 $b_1,...,b_n$ ，不妨设 $b1≤b2≤...≤bnb_1\le b_2\le ...\le b_n$ ，显然只要 $2⋅bn≤∑i=1nbi2\cdot b_n\le \sum\limits_{i=1}^nb_i$ ，这些幂指数就可以成对消除最后剩余 $∑i=1nbi%2\sum\limits_{i=1}^nb_i\%2$ 个 $p$ ，否则只能用 $b_1,...,b_{n-1}$ 去消除 $b_n$ ，最后剩余 $2⋅bn−∑i=1nbi2\cdot b_n-\sum\limits_{i=1}^nb_i$ 个 $p$ ，以此考虑每个素因子即得答案

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10005;
int p[maxn],mark[maxn],res;
void init(int n=10000)
{
	res=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(!mark[i])
		{
			p[res++]=i;
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i)mark[j]=1;
		}
}
int num[maxn],mx[maxn];
map<int,int>M;
map<int,int>::iterator it;
void deal(int n)
{
	for(int i=0;i<res;i++)
		if(n%p[i]==0)
		{
			int cnt=0;
			while(n%p[i]==0)cnt++,n/=p[i];
			num[i]+=cnt,mx[i]=max(mx[i],cnt);  
		}
		else if(n<p[i])break;
	if(n>1)M[n]++;
}
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int Pow(int x,int y)
{
	int z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)z=mul(z,x);
		x=mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return z;
}
int main()
{
	init();
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		memset(num,0,sizeof(num));
		memset(mx,0,sizeof(mx));
		M.clear();
		while(n--)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			deal(x);
		}
		int ans=1;
		for(int i=0;i<res;i++)
			if(num[i])
			{
				if(mx[i]<=num[i]/2)
				{
					if(num[i]&1)ans=mul(ans,p[i]);
				}
				else ans=mul(ans,Pow(p[i],2*mx[i]-num[i]));
			}
		for(it=M.begin();it!=M.end();it++)
			if(it->second&1)ans=mul(ans,it->first);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}