Newcoder 148 I.Rikka with Zombies（树形DP）

最新推荐文章于 2020-03-06 18:21:16 发布

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树形DP

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探讨在一棵树状结构中，面对多个具有不同能力的僵尸，如何计算至少存在一个安全位置的概率。通过动态规划和前缀和优化，解决僵尸按能力排序后的方案数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一棵 $n$ 个节点的树，再给出 $m$ 只僵尸的位置 $x_i$ 以及能力 $h_i$ ，第 $i$ 条边可以等概率建立起高度为 $l_i,r_i]$ 的围墙，第 $i$ 只僵尸可以越过任何小于 $h_i$ 的围墙，问至少存在一个位置安全（即没有僵尸可以到达这个位置）的概率

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入两个整数 $n, m$ 表示点数和僵尸数量，之后 $n - 1$ 行每行输入四个整数 $u,v,l_i,r_i$ 表示第 $i$ 条树边为 $u↔vu\leftrightarrow v$ ，可以建立围墙高度范围为 $l_i,r_i]$ ，最后 $m$ 行每行两个整数 $x_i,h_i$ 表示第 $i$ 个点处有一个能力为 $h_i$ 的僵尸

$(1≤T≤5,1≤n,m≤2000,1≤li≤ri≤109,1≤hi≤109)(1\le T\le 5,1\le n,m\le 2000,1\le l_i\le r_i\le 10^9,1\le h_i\le 10^9)$

Output

输出至少存在一个位置安全的概率，结果模 $998244353$

Sample Input

2
4 2
1 2 1 2
2 3 1 2
1 4 1 2
1 2
3 2
5 2
1 2 1 10
2 3 2 9
1 4 3 12
2 5 4 6
1 7
5 5

Sample Output

374341633
888437475

Solution

考虑所有位置都不安全的方案数，把僵尸按能力升序排，以 $d p [u] [i]$ 表示以 $u$ 为根的子树全部不安全，且 $u$ 子树中可以到达 $u$ 的最强僵尸编号为 $i$ ，以此考虑 $u$ 的子树，对于当前考虑的儿子 $v$ ，假设 $u, v$ 边被 $i$ 僵尸通过的方案数为 $x_i$ ，不被通过的方案数为 $y_i$ ，那么有三种情况：

1. $v$ 被 $i$ 干掉了， $dp[u][i]+=dp[u][i]⋅dp[v][i]⋅xidp[u][i]+=dp[u][i]\cdot dp[v][i]\cdot x_i$

2. $v$ 被其子树内弱于 $i$ 的僵尸干掉，此时显然 $i$ 僵尸不会在 $v$ 子树中，为使干掉 $v$ 的最强僵尸不超过 $i$ ， $u, v$ 之间需要阻碍 $i$ 僵尸通过，故有 $dp[u][i]+=dp[u][i]⋅yi⋅∑j<idp[v][j]dp[u][i]+=dp[u][i]\cdot y_i\cdot \sum\limits_{j<i}dp[v][j]$

3. $v$ 被其子树内强于 $i$ 的僵尸干掉，此时不能让这些强于 $i$ 的僵尸通过 $u, v$ 之间的边去干掉 $u$ ，故 $u, v$ 之间需要阻碍这些更强的僵尸通过，故有 $dp[u][i]+=dp[u][i]⋅∑j≥idp[v][j]⋅yjdp[u][i]+=dp[u][i]\cdot \sum\limits_{j\ge i}dp[v][j]\cdot y_j$

前缀和优化一下，第二部分从弱僵尸到强僵尸考虑，第三部分从强僵尸到弱僵尸考虑即可，答案即为
$1-\frac{\sum\limits_{i=1}^mdp[1][i]}{\prod\limits_{i=1}^{n-1}(r_i-l_i+1)}$
时间复杂度 $O (n m)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define maxn 2005
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int Pow(int x,int y)
{
	int ans=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)ans=mul(ans,x);
		x=mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
#define id second
#define val first
P a[maxn];
vector<P>g[maxn];
int T,n,m,l[maxn],r[maxn],dp[maxn][maxn],vis[maxn][maxn],temp[maxn];
void dfs(int u,int fa)
{
	int pos=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(a[i].id==u)
		{
			vis[u][i]=1;
			pos=i;
		}
		else vis[u][i]=0;
	for(int i=pos;i<=m;i++)dp[u][i]=1;
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i].first,t=g[u][i].second;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=1;j<=m;j++)temp[j]=dp[u][j],dp[u][j]=0;
		int res=0;
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			int x=max(0,min(a[j].val-1,r[t])-l[t]+1),y=r[t]-l[t]+1-x;
			dp[u][j]=add(dp[u][j],mul(x,mul(temp[j],dp[v][j])));
			if(vis[v][j])res=add(res,dp[v][j]);
			else dp[u][j]=add(dp[u][j],mul(mul(y,res),temp[j]));
		}
		res=0;
		for(int j=m;j>=1;j--)
		{
			int x=max(0,min(a[j].val-1,r[t])-l[t]+1),y=r[t]-l[t]+1-x;
			if(vis[v][j])res=add(res,mul(dp[v][j],y));
			else dp[u][j]=add(dp[u][j],mul(res,temp[j]));
		}
		for(int j=1;j<=m;j++)vis[u][j]|=vis[v][j];
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++)g[i].clear();
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		int ans=1;
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int u,v;
			scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&l[i],&r[i]);
			ans=mul(ans,r[i]-l[i]+1);
			g[u].push_back(P(v,i)),g[v].push_back(P(u,i));
		}
		for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&a[i].id,&a[i].val);
		sort(a+1,a+m+1);
		dfs(1,0);
		int res=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)res=add(res,dp[1][i]);
		res=add(ans,mod-res);
		printf("%d\n",mul(res,Pow(ans,mod-2)));
	}
	return 0;
}