Newcoder 147 C.Gambling（概率DP+组合数学）

Description

两个队$A$和$B$要比赛$2n-1$场比赛，哪支队伍先胜利$n$场则获胜，牛牛想压$2^{n-1}$元在$A$队，如果$A$队最终获胜则赚了$2^{n-1}$，否则赔了$2^{n-1}$. 但是赛方不允许这样赌球，牛牛只能对每场比赛单独赌，假设两支队伍每场比赛各自获胜的概率均为$0.5$，牛牛每次在看完第$i$场比赛后赌一些钱压第$i+1$场比赛$A$队胜，输入$n$和每场比赛的结果，每输入一场比赛的结果则要输出牛牛对下一场比赛赌的钱数，使得分开$n$次赌的结果和之前一次赌球的结果相同

Input

输入$n$个每场比赛的结果，$1$表示$A$胜，$0$表示$B$胜，$0$或$1$数量达到$n$则不再输入，比赛结束

$(1\le n\le 10^5)$

Output

输入$n$后则要输出牛牛在第一场比赛压的钱，输入第$i$场比赛的结果后则要输出牛牛在下一场比赛压的钱，最终需要保证牛牛压的总钱数为$2^{n-1}$，且赌球结果和一次赌的结果相同，每次的钱数模$10^9+7$后输出

Sample Input

2
0 1 1

Sample Output

4
4
8

Solution

关键在于求出之前$A$已经胜$x$场，$B$已经胜$y$场后$A$的胜率，以$f[x][y]$表示该状态$A$的胜率，之后$z=2n-1-x-y$场比赛$A$至少要胜利$n-x$场才能取得胜利，故有
$$f[x][y]=\frac{1}{2^z}\sum _{k=n-x}^z{C}_z^k$$
进而可以得到转移$f[n][y]=1,f[x][n]=0,f[x][y]=\frac{1}{2}(f[x+1][y]+f[x][y+1])$

这意味着$f[x+1][y]-f[x][y]=f[x][y]-f[x][y+1]$，即第$x+y+1$场比赛结束后，$A$胜利造成的胜率增值等于$A$失败造成的胜率减少值，假设胜率的变化值为$p$，那么当前应该投注$2p\cdot 2^{2n-1}$，只要求出$p$即可，而
$$p=\frac{1}{2}(f[x+1][y]-f[x][y+1])=\frac{1}{2^{z-1}}\sum _{k=n-x-1}^{z-1}{C}_{z-1}^k-\frac{1}{2^{z-1}}\sum _{k=n-x}^{z-1}{C}_{z-1}^k=\frac{1}{2^{z-1}}{C}_{z-1}^{n-x-1}$$
故应投注$\frac{2^{2n-1}}{2^{2n-2-x-y}}{C}_{2n-2-x-y}^{n-1-x}=2^{x+y+1}{C}_{2n-2-x-y}^{n-1-x}$，预处理阶乘以及逆元还有$2$的次幂，时间复杂度$O(n)$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 200005
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int inv[maxn],fact[maxn],b[maxn];
void init(int n=2e5)
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
	b[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=add(b[i-1],b[i-1]);
}
int C(int n,int m)
{
	return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int n,x,y;
int Solve()
{
	return mul(b[x+y+1],C(2*n-2-x-y,n-x-1));
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d",&n);
	x=0,y=0;
	while(x<n&&y<n)
	{
		printf("%d\n",Solve());
		int temp;
		scanf("%d",&temp);
		if(temp)x++;
		else y++;
	}
	return 0;
}