Newcoder 141 F.Sum Of Digit（数论+线段树）

Description

对于一个十进制数字$v$，定义$SOD(v)$：若$v<16$则$SOD(v)=v$，否则$SOD(v)=SOD(S(v))$，其中$S(v)$为将$v$的十六进制每位数的和。现在给出一个由$16$进制数组成的长度为$n$的字符串$s$，有$q$次操作，操作分两种：

$1\ p\ c:$将$s$的第$p$位改成$c$

$2\ l\ r:$对区间$[l,r]$的所有非空子序列求$SOD$值

Input

第一行两个整数$n,q$，之后输入一个由十六进制数组成的长度为$n$的字符串，最后$q$行每行一个操作

$(1\le n,q\le 10^5)$

Output

对于每次查询操作，假设$SOD$值为$i$的子序列有$a_i$个，那么输出$\sum\limits_{i=0}^{15}a_i\cdot 1021^i\ mod\ 10^9+7$

Sample Input

5 2
12345
2 1 1
2 1 3

Sample Output

1021
267411465

Solution

对于十六进制数$v=\sum\limits v_i16^i$，在求$SOD(v)$时每递归一次$v$会减少$\sum v_i(16^i-1)$，而该减少值显然是$15$的倍数，直至$v$不超过$15$递归终止，那么有

$$SOD(v)=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 &&v=0\\ 15&&v>0,v\%15=0\\ v\%15&&else \end{array} \right.$$
而注意到$SOD(x\cdot 16^i+y)=SOD(x+y)$，故可以用线段树维护每个区间中$0,...,15$出现的次数，区间合并即为两个长度为$16$序列的卷积，时间复杂度$O(16^2nlogn)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005 
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int SOD(int x)
{
    if(x==0)return 0;
    if(x%15==0)return 15;
    return x%15;
}
int deal(char c)
{
    if(c>='0'&&c<='9')return c-'0';
    return 10+c-'A';
}
int n,q,f[16];
struct node
{
    int x[16];
    void init()
    {
        memset(x,0,sizeof(x));
    }
    node operator+(const node&b)const
    {
        node c;
        c.init();
        for(int i=0;i<16;i++)
            for(int j=0;j<16;j++)
                c.x[SOD(i+j)]=add(c.x[SOD(i+j)],mul(x[i],b.x[j]));
        return c;
    }
}Num[maxn<<2],ans;
char s[maxn];
#define ls (t<<1)
#define rs ((t<<1)|1) 
void push_up(int t)
{
    Num[t]=Num[ls]+Num[rs];
}
void build(int l,int r,int t)
{
    Num[t].init();
    if(l==r)
    {
        Num[t].x[0]=add(Num[t].x[0],1);
        Num[t].x[deal(s[l])]=add(Num[t].x[deal(s[l])],1);
        return ;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,ls),build(mid+1,r,rs);
    push_up(t);
}
void update(int x,int l,int r,int t,char c)
{
    if(l==r)
    {
        Num[t].x[deal(s[l])]=add(Num[t].x[deal(s[l])],mod-1);
        Num[t].x[deal(c)]=add(Num[t].x[deal(c)],1);
        return ;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid)update(x,l,mid,ls,c);
    else update(x,mid+1,r,rs,c);
    push_up(t); 
}
node query(int L,int R,int l,int r,int t)
{
    if(L==l&&r==R)return Num[t];
    int mid=(l+r)/2;
    if(R<=mid)return query(L,R,l,mid,ls);
    if(L>mid)return query(L,R,mid+1,r,rs); 
    return query(L,mid,l,mid,ls)+query(mid+1,R,mid+1,r,rs);
}
int main()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<16;i++)f[i]=mul(1021,f[i-1]);
    scanf("%d%d%s",&n,&q,s+1);
    build(1,n,1);
    while(q--)
    {
        int op,l,r;
        char c[3];
        scanf("%d",&op);
        if(op==1)
        {
            scanf("%d%s",&l,c);
            update(l,1,n,1,c[0]);
            s[l]=c[0];
        }
        else
        {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            ans=query(l,r,1,n,1);
            ans.x[0]=add(ans.x[0],mod-1);
            int res=0;
            for(int i=0;i<16;i++)res=add(res,mul(f[i],ans.x[i]));
            printf("%d\n",res);
        }
    }
    return 0;
}