HDU 6434 Problem I. Count（数论）

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Description

求 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i-1}[gcd(i+j,i-j)=1]$

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入一整数 $n(1\le T\le 10^5,1\le n\le 2\cdot 10^7)$

Output

输出结果

Sample Input

4
978
438
233
666

Sample Output

194041
38951
11065
89963

Solution

首先由 $gcd(i+j,i-j)=gcd(2i,i-j)$ 可知

\sum i = 1 n \sum j = 1 i - 1 [g c d (i + j, i - j) = 1] = \sum i = 1 n \sum j = 1 i - 1 [g c d (2 i, i - j) = 1] = \sum i = 1 n \sum j = 1 i - 1 [g c d (2 i, j) = 1]

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i-1}[gcd(i+j,i-j)=1]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i-1}[gcd(2i,i-j)=1]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{i-1}[gcd(2i,j)=1]$
若

ii $i$ 为偶数，那么所有与

i

$i$ 互素的

jj $j$ 必然是奇数，此时

[g c d (2 i, j) = 1] = [g c d (i, j) = 1]

$[gcd(2i,j)=1]=[gcd(i,j)=1]$ ，第二个求和式值为

φ(i)φ(i) $\varphi(i)$

若 $i$ 为奇数，对于与 $i$ 互素的 $j$ ， $i-j$ 必然也与 $i$ 互素且与 $j$ 的奇偶性不同，故所有与 $i$ 互素的奇数个数为 $\frac{\varphi(i)}{2}$

线性筛求出欧拉函数，奇数项除以二后累加前缀和即可

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 20000005
#define mod 998244353
int prime[maxn],res;
ll euler[maxn];
void get_euler(int n=2e7)
{
    euler[1]=1;
    res=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!euler[i])euler[i]=i-1,prime[res++]=i;
        for(int j=0;j<res&&prime[j]*i<=n;j++)
        {
            if(i%prime[j]) euler[prime[j]*i]=euler[i]*(prime[j]-1);
            else
            {
                euler[prime[j]*i]=euler[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    get_euler();
    for(int i=1;i<=2e7;i++)
    {
        if(i&1)euler[i]/=2;
        euler[i]+=euler[i-1];
    }
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",euler[n]);
    }
    return 0;
}