Description
求00~的圆环排列中不存在连续两个位置为i,(i+1)%ni,(i+1)%n的方案数
Input
第一行一整数TT表示用例组数,每组用例输入一整数(1≤T≤20,1≤n≤105)(1≤T≤20,1≤n≤105)
Output
输出方案数,结果模998244353998244353
Sample Input
3
4
5
6
Sample Output
1
8
36
Solution
容斥原理,至少包含一个不合法子串的排列有C1n⋅(n−2)!Cn1⋅(n−2)!,而对于至少包含两个不合法子串的排列,选出两个子串的第一个位置的值i<ji<j的方案数为C2nCn2,若j=(i+1)%nj=(i+1)%n,那么i,j,(j+1)%ni,j,(j+1)%n要占连续的三个位置,剩下n−3n−3个数字随便排,方案数(n−3)!(n−3)!,若j≠(i+1)%nj≠(i+1)%n,那么jj只能从除了以及其前后的两个位置之外的n−3n−3个位置中选一个,剩下n−4n−4个元素随便排,方案数(n−3)⋅(n−4)!=(n−3)!(n−3)⋅(n−4)!=(n−3)!,故至少包含两个不合法子串的排列为C2n⋅(n−3)!Cn2⋅(n−3)!,数学归纳法可证至少包含kk个不合法子串的排列有,而包含nn个不合法子串的排列只有这一种,故有容斥原理,不包含不合法子串的排列数为
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
ll z=1ll*x*y;
return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
x+=y;
if(x>=mod)x-=mod;
return x;
}
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=1e5)
{
fact[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(fact[i-1],i);
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
inv[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
}
int C(int n,int m)
{
if(m<0||m>n)return 0;
return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int T,n,a[maxn];
int main()
{
init();
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
int ans=n&1?mod-1:1;
for(int k=0;k<n;k++)
if(k&1)ans=add(ans,mod-mul(C(n,k),fact[n-k-1]));
else ans=add(ans,mul(C(n,k),fact[n-k-1]));
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}