HDU 6432 Problem G. Cyclic(容斥原理)

本文探讨了在0到n-1的圆环排列中,不存在连续两个位置为i和i+1%n的方案数的问题。利用容斥原理,通过数学归纳法证明了至少包含k个不合法子串的排列数量,并提供了详细的算法实现代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description

00~n1的圆环排列中不存在连续两个位置为i,(i+1)%ni,(i+1)%n的方案数

Input

第一行一整数TT表示用例组数,每组用例输入一整数n(1T20,1n105)(1≤T≤20,1≤n≤105)

Output

输出方案数,结果模998244353998244353

Sample Input

3
4
5
6

Sample Output

1
8
36

Solution

容斥原理,至少包含一个不合法子串的排列有C1n(n2)!Cn1⋅(n−2)!,而对于至少包含两个不合法子串的排列,选出两个子串的第一个位置的值i<ji<j的方案数为C2nCn2,若j=(i+1)%nj=(i+1)%n,那么i,j,(j+1)%ni,j,(j+1)%n要占连续的三个位置,剩下n3n−3个数字随便排,方案数(n3)!(n−3)!,若j(i+1)%nj≠(i+1)%n,那么jj只能从除了i以及其前后的两个位置之外的n3n−3个位置中选一个,剩下n4n−4个元素随便排,方案数(n3)(n4)!=(n3)!(n−3)⋅(n−4)!=(n−3)!,故至少包含两个不合法子串的排列为C2n(n3)!Cn2⋅(n−3)!,数学归纳法可证至少包含kk个不合法子串的排列有Cnk(nk1)!,0kn1,而包含nn个不合法子串的排列只有0,1,...,n1这一种,故有容斥原理,不包含不合法子串的排列数为

(1)n+k=0n1(1)kCkn(nk1)!(−1)n+∑k=0n−1(−1)k⋅Cnk⋅(n−k−1)!

Code
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=1e5)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(fact[i-1],i);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
}
int C(int n,int m)
{
    if(m<0||m>n)return 0;
    return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int T,n,a[maxn];
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int ans=n&1?mod-1:1;
        for(int k=0;k<n;k++)
            if(k&1)ans=add(ans,mod-mul(C(n,k),fact[n-k-1]));
            else ans=add(ans,mul(C(n,k),fact[n-k-1]));
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
评论 4
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值