HDU 6395 Sequence（数论+矩阵快速幂）

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂来高效计算特定递推序列的方法。针对序列F1=A, F2=B, Fn=C⋅Fn−2+D⋅Fn−1+⌊P/n⌋的问题，在给定边界条件下，通过矩阵运算加速求解过程，并给出具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

定义序列 $F_1=A,F_2=B,F_n=C\cdot F_{n-2}+D\cdot F_{n-1}+\lfloor\frac{P}{n}\rfloor$ ，求 $F_n$

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入六个整数 $A,B,C,D,P,n$

$(1\le T\le 20,0\le A,B,C,D\le 10^9,1\le P,n\le 10^9)$

Output

输出 $F_n$ ，结果模 $10^9+7$

Sample Input

2
3 3 2 1 3 5
3 2 2 2 1 4

Sample Output

36
24

Solution

由于 $\lfloor\frac{P}{n}\rfloor$ 只有 $O(\sqrt{P})$ 种不同取值，得到每种取值对应的所处区间分别用矩阵快速幂加速求解即可

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
typedef int M[3][3];
void Mul(M &A,M B)
{
    M C;
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            C[i][j]=0;
            for(int k=0;k<3;k++)
                C[i][j]=add(C[i][j],mul(A[i][k],B[k][j]));  
        }
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            A[i][j]=C[i][j];
}
void Pow(M &A,int k)
{
    M B;
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            B[i][j]=(i==j?1:0);
    while(k)
    {
        if(k&1)Mul(B,A);
        Mul(A,A);
        k>>=1;
    }
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            A[i][j]=B[i][j];
}
vector<P>v;
int main()
{
    int T,a,b,c,d,p,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&p,&n);
        int f1=a,f2=b;
        v.clear();
        for(int i=1,pre=-1;i<=p;i=pre+1)
        {
            pre=p/(p/i);
            pre=min(pre,n);
            v.push_back(P(i,pre));
            if(pre==n)break;
        }
        if(p<n)v.push_back(P(p+1,n));
        int pre=2;//f[pre],f[pre-1]
        for(int i=1;i<v.size();i++)
        {
            M A;
            A[0][0]=d,A[0][1]=c,A[0][2]=p/v[i].first;
            A[1][0]=1,A[1][1]=0,A[1][2]=0;
            A[2][0]=0,A[2][1]=0,A[2][2]=1;
            Pow(A,v[i].second-pre);
            int g2=add(add(mul(A[0][0],f2),mul(A[0][1],f1)),A[0][2]);
            int g1=add(add(mul(A[1][0],f2),mul(A[1][1],f1)),A[1][2]);
            f2=g2,f1=g1,pre=v[i].second;
        }
        printf("%d\n",f2);
    }
    return 0;
}