CodeForces 56 D.Changing a String（dp）

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本文介绍了一种通过插入、删除和替换操作将一个字符串转换成另一个字符串的最优化算法，并提供了一个具体的实现案例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出两个字符串 $a$ 和 $b$ ，每次可以对字符串 $a$ 进行以下三种操作的一种：

$INSERT\ pos\ ch:$ 在 $a$ 字符串的第 $pos-1$ 个字符后面插入字符 $ch$ ， $1\le pos\le |a|+1$

$DELETE\ pos:$ 删去 $a$ 字符串的第 $pos$ 个字符， $1\le pos\le |a|$

$REPLACE\ pos\ ch:$ 替代 $a$ 字符串的第 $pos$ 个字符为 $ch$ ， $1\le pos\le |a|$

问至少需要多少次操作可以使得 $a$ 字符串变成 $b$ 字符串，输出每步操作

Input

输入两个串长不超过 $1000$ 且只由大写字母组成的字符串 $a$ 和 $b$

Output

输出最少操作次数和每步操作

Sample Input

ABA
ABBBA

Sample Output

2
INSERT 3 B
INSERT 4 B

Solution

以 $dp[i][j]$ 表示 $a$ 的前 $i$ 个字符匹配 $b$ 的前 $j$ 个字符至少需要的操作数，根据第 $i$ 个字符采取的操作有转移：

$dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+(a[i]==b[j]?0:1),dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1)$

即当前步相同可以不操作，不相同可以替换，或者删去 $a[i]$ ，或者在 $a[i]$ 后加上 $b[j]$

至于输出方案，只需看当前步状态是哪个前继状态转移过来的即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1002;
int n,m,dp[maxn][maxn];
char a[maxn],b[maxn];
void output(int x,int y,int num)
{
    if(num==0)return ;
    if(x>=1&&y>=1&&dp[x-1][y-1]+(a[x]==b[y]?0:1)==dp[x][y])
    {
        output(x-1,y-1,num-(a[x]==b[y]?0:1));
        if(a[x]!=b[y])printf("REPLACE %d %c\n",y,b[y]);
    }
    else if(x>=1&&dp[x-1][y]+1==dp[x][y])
    {
        output(x-1,y,num-1);
        printf("DELETE %d\n",y+1);
    }
    else if(y>=1&&dp[x][y-1]+1==dp[x][y])
    {
        output(x,y-1,num-1);
        printf("INSERT %d %c\n",y,b[y]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    n=strlen(a+1),m=strlen(b+1);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            if(i&&j)dp[i][j]=INF;
            else dp[i][j]=max(i,j);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+(a[i]==b[j]?0:1));//replace
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+1);//delete
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+1);//insert
        }
    printf("%d\n",dp[n][m]);
    output(n,m,dp[n][m]);
    return 0;
}