CodeForces 603 C.Lieges of Legendre（博弈论）

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本文探讨了一种基于石子堆的游戏策略，通过分析不同数量石子堆的操作规则，利用数学归纳法确定了游戏的胜者。针对不同参数，讨论了奇数与偶数堆的不同策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆有 $a_i$ 个石子，每轮可以有两种操作，第一种是选一堆非空石子取走一个，第二种是对于一个有 $2x$ 个石子的偶数堆，将其分成 $k$ 个 $x$ 个石子的堆，问谁必胜

Input

第一行两个整数 $n,k$ ，之后输入 $n$ 个整数 $a_i(1\le n\le 10^5,1\le k,a_i\le 10^9)$

Output

输出胜者

Sample Input

2 1
3 4

Sample Output

Kevin

Solution

组合游戏，记 $sg[x]$ 为 $x$ 个石子的堆的 $sg$ 值， $A$ 为若干非负整数的集合， $mex(A)=min(N-A)$ 表示不是 $A$ 集合的自然数最小值

若 $k$ 为偶数，那么有 $2x$ 个石子的偶数堆用第二种操作会变成偶数个 $x$ 个石子的堆，这种后继状态的 $sg$ 值为偶数个 $sg[x]$ 异或，即为 $0$ ，进而有 $sg[2x]=mex(0,sg[2x-1])$ ，暴力计算得 $sg[0,1,2,3,4]=0,1,2,0,1$ ，用数学归纳法验证， $n\ge 2$ 时， $sg[2n-1]=0,sg[2n]=1$

$k=2$ 时显然成立结论成立， $k=n$ 时若成立 $sg[2k-1]=0,sg[2k]=1$ ，那么 $k=n+1$ 时：

$sg[2k+1]=mex(sg[2k])=0$ ， $sg[2k+2]=mex(0,sg[2k+1])=1$

故结论成立，进而得到了任意 $n$ 的 $sg$ 值

若 $k$ 为奇数，那么有 $sg[2x]=mex(sg[2x-1],sg[x])$ ，暴力计算得 $sg[0,1,2,3,4,5]=0,1,0,1,2,0$ ，用数学归纳法验证， $n\ge 2$ 时， $sg[2n]>0,sg[2n+1]=0$

$k=2$ 时结论显然成立， $k=n$ 时若成立 $sg[2k]>0,sg[2k+1]=0$ ，那么 $k=n+1$ 时：

$sg[2k+2]=mex(sg[2k+1],sg[k+1])>0(sg[2k+1]=0)$ ， $sg[2k+3]=mex(sg[2k+2])=0$

故结论成立，进而得到所有奇数的 $sg$ 值，对于所有的 $sg[2x]$ ，递归求出 $sg[x]$ 即可，时间复杂度 $O(log_2x)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 111111
int n,k,a,f[5];
map<int,int>sg;
int solve(int a)
{
    if(a<5)return  f[a];
    if(a%2)return 0;
    return solve(a/2)==1?2:1;
}
int main()
{
    f[0]=0,f[1]=1,f[2]=0,f[3]=1,f[4]=2;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int ans=0;
    if(k%2==0)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a);
            if(a==2)ans^=2;
            else if(a==1||a>2&&a%2==0)ans^=1;
        }
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a);
            ans^=solve(a);
        }
    }
    printf("%s\n",ans?"Kevin":"Nicky");
    return 0;
}