计蒜客 16954 Half-consecutive Numbers（数论+打表）

最新推荐文章于 2020-04-05 19:12:23 发布

v5zsq

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分类专栏：计蒜客数论杂题

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本文探讨了如何找出不小于给定数值n的最小整数r，使得t_r=i(i+1)/2为完全平方数的问题，并提供了一种通过枚举奇数的方法来找到满足条件的a(a+1)/2=b^2的所有解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

定义 $t_i=\frac{i(i+1)}{2}$ ，给出 $n$ ，问不小于 $n$ 的数中满足 $t_r$ 是完全平方数的最小的 $r$

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入一整数 $n$ $(1\le n\le 10^{16})$

Output

输出满足 $t_r$ 是完全平方数的最小 $r$ ，如果不存在则输出 $-1$

Sample Input

4
1
2
9
50

Sample Output

Case #1: 1
Case #2: 8
Case #3: 49
Case #4: 288

Solution

首先求出满足 $\frac{a(a+1)}{2}=b^2$ 的解 $(a,b)$ ，由于 $(a,a+1)=1$ ，如果 $a$ 为偶数，则 $(\frac{a}{2},a+1)=1$ ，说明 $\frac{a}{2}$ 和 $a+1$ 都是完全平方数，设 $a=2x^2,a+1=y^2$ ，其中 $y$ 为奇数，则问题转化为求满足 $\frac{y^2-1}{2}$ 是完全平方数的奇数 $y$ ，如果 $a$ 是奇数，则 $(a,\frac{a+1}{2})=1$ ，说明 $a,\frac{a+1}{2}$ 都是完全平方数，设 $a=y^2,a+1=2x^2$ ，其中 $y$ 为奇数，则问题转化为求满足 $\frac{y^2+1}{2}$ 是完全平方数的奇数 $y$ ，综合上面两种情况，枚举奇数 $y$ 可找到所有满足条件的，在一个较大范围内枚举打表即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
map<ll,int>m;
int check(ll n)
{
    int m=(int)sqrt(n+0.5);
    if((ll)m*m==n)return 1;
    return 0;
}
ll a[]={
1,
8,
49,
288,
1681,
9800,
57121,
332928,
1940449,
11309768,
65918161,
384199200,
2239277041,
13051463048,
76069501249,
443365544448,
2584123765441,
15061377048200,
87784138523761,
511643454094368,
2982076586042449,
17380816062160328};
int main()
{
    //for(int i=1;i<=2e8;i+=2)
    //{
    //  if(check(((ll)i*i-1)/2))printf("%I64d,\n",(ll)i*i-1);
    //  if(check(((ll)i*i+1)/2))printf("%I64d,\n",(ll)i*i);
    //}
    int T,Case=1;
    ll n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        int pos=lower_bound(a,a+24,n)-a;
        printf("Case #%d: %lld\n",Case++,a[pos]);
    }
    return 0;
}