HDU 6209 The Intersection（二分）

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二分三分

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本文介绍了一种算法，用于寻找给定正整数k时，离曲线f(x)=√x和g(x)=k/x交点横坐标最近的、分母不超过10^5的最简有理数。通过将问题转化为求特定形式的最简分数，利用二分查找方法高效地找到满足条件的有理数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出正整数 $k$ ，求离曲线 $f(x)=\sqrt{x}$ 和曲线 $g(x)=\frac{k}{x}$ 的交点横坐标最近的分母不超过 $10^5$ 的最简有理数

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入一整数 $k$ $(1\le T\le 10^5,1\le k\le 10^5)$

Output

对于每组用例，输出离交点横坐标最近的分母不超过 $10^5$ 的最简有理数

Sample Input

5
1
2
3
4
5

Sample Output

1/1
153008/96389
50623/24337
96389/38252
226164/77347

Solution

若 $\frac{b}{a}<\frac{d}{c}$ ，则 $\frac{b}{a}<\frac{b+d}{a+c}<\frac{d}{c}$ ，其中 $\frac{b}{a},\frac{d}{c}$ 是最简分数表示

令 $k=k^2$ ，则问题转化为求离 $k^{\frac{1}{3}}$ 最近的分母不超过 $10^5$ 的最简分数，求出 $x$ 满足 $(x-1)^3<k\le x^3$ ，若 $x^3=k$ 则答案为 $\frac{x}{1}$ ，否则令 $a=c=1,b=x-1,d=x$ ，根据上面的结论对这两个分数二分即可，且注意到以此初值下得到的分数都是最简的，因为前面的系数总是整除分母，但后面减掉的值总非负且小于分母

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ld Abs(ld x)
{
    return x>0?x:-x;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll x,k;
        scanf("%I64d",&k);
        k=k*k;
        x=1;
        while(x*x*x<k)x++;
        if(x*x*x==k)printf("%I64d/1\n",x);
        else
        {
            ll a=1,b=x-1,c=1,d=x,p,q;
            ld tar=k,ans=x*x*x-tar;
            while(1)
            {
                ll e=a+c,f=b+d;
                if(e>1e5)break;
                ld temp=(ld)f*f*f/e/e/e;
                if(Abs(temp-tar)<ans)
                {
                    ans=Abs(temp-k);
                    p=e,q=f;
                }
                if(temp>tar)c=e,d=f;
                else a=e,b=f;
            }
            printf("%I64d/%I64d\n",q,p);
        }
    }
    return 0;
}