HDU 6211 Pythagoras（本原勾股数）

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本文探讨了如何通过数学证明及编程实现来寻找特定条件下的勾股数，并提供了一个具体的算法解决方案，包括代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一长度为 $2^n$ 的序列 $a_0,...,a_{2^n-1}$ ，求 $\sum a_{y\ mod\ 2^n}$ ，其中 $y$ 满足存在 $x<y<z\le 10^9,(x,y,z)=1$ 使得 $x^2+y^2=z^2$

Input

第一行输入一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入一整数 $n$ ，之后输入 $a_0,...,a_{2^n-1}$

$(1\le T\le 3,1\le n\le 17,1\le a_i\le 255)$

Output

求 $\sum a_{y\ mod\ 2^n}$

Sample Input

3
2
0 0 0 1
2
1 0 0 0
2
1 1 1 1

Sample Output

39788763
79577506
159154994

Solution

只要找出所有不超过 $10^9$ 的本原勾股数即可，对于一组本原勾股数 $x^2+y^2=z^2$ ，先证明几个结论

1. $x$ 和 $y$ 互素

若 $d=(x,y)>1$ ，由 $z^2=x^2+y^2$ 知 $d^2|z^2$ ，即 $d|z$ ，进而 $d|(x,y,z)=1$ ，矛盾，故 $(x,y)=1$

2. $x,y$ 一奇一偶

由结论 $1$ 知，如果 $x,y$ 不是一奇一偶则必然为两个奇数，进而 $z$ 为偶数，假设 $x=2a+1,y=2b+1,z=2c$ ，由 $x^2+y^2=z^2$ 知 $4a^2+4a+1+4b^2+4b+1=4c^2$ ，即 $a^2+b^2-c^2+a+b=\frac{1}{2}$ ，矛盾，故 $x,y$ 一奇一偶

3.存在奇偶性不同的两个数 $s,t$ 满足 $s>t,(s,t)=1$ 且 $x=s^2-t^2,y=2st,z=s^2+t^2$

假设 $x$ 为奇数， $y$ 为偶数，则 $z$ 必然为奇数， $x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)$ ，首先证明 $d=(z+y,z-y)=1$

由于 $z+y$ 和 $z-y$ 互素，故 $z+y,z-y$ 为两个互素的完全平方数，设 $z+y=m^2,z-y=n^2$ ，则 $x=mn,y=\frac{m^2-n^2}{2},z=\frac{m^2+n^2}{2}$ ，其中 $m,n$ 均为奇数且 $m>n,(m,n)=1$

令 $s=\frac{m+n}{2},t=\frac{m-n}{2}$ ，则 $s>t$ 均为正整数，且由于 $s+t=m,s-t=n$ ，故 $(s+t,s-t)=1$ ，进而 $(s,t)=1$ ，而 $s+t=m$ 为奇数，显然 $s,t$ 一奇一偶，而代入即得 $x=s^2-t^2,y=2st,z=s^2+t^2$

由结论 $3$ ，只要枚举所有的 $(s,t)$ 即可得到所有的本原勾股数，而由于 $z=s^2+t^2\le 10^9$ ，故只需要枚举小范围的 $s$ ，然后找小于 $s$ 、与 $s$ 奇偶性不同且与 $s$ 互素的即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=(1<<17)-1;
int T,n,a[mod+5],f[mod+5];
void init(int N=1e9)
{
    int p[33];
    for(int i=1;i*i<=N;i++)
    {
        int res=0,ii=i;
        for(int j=2;j*j<=ii;j++)
            if(ii%j==0)
            {
                p[res++]=j;
                while(ii%j==0)ii/=j;
            }
        if(ii>1)p[res++]=ii;
        int c=i*i;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            c+=2*j-1;
            if(c>N)break;
            if(!((i-j)&1))continue;
            int k=0;
            while(k<res&&j%p[k]!=0)k++;
            if(k==res)f[max(i*i-j*j,2*i*j)&mod]++;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        n=(1<<n)-1;
        for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<=mod;i++)ans+=(ll)a[i&n]*f[i];
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}