CodeForces 575 H.Bots（组合数学）

最新推荐文章于 2025-03-15 16:07:32 发布

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组合数学

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本文探讨了一个特定的博弈论问题，即两个人轮流博弈，最终双方各赢相同局数的所有可能局面的数量。通过组合数学的方法，利用组合数公式得出解答，并给出了相应的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

两个人博弈，每一步只有一个人赢，游戏结束时每个人赢了 $n$ 局，问满足条件的局面数（包括中间局面）

Input

一个整数 $n(1\le n\le 10^6)$

Output

输出所有局面数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

Sample Output

Solution

以 $(x,y)$ 表示第一个人赢 $x$ 局第二个人赢 $y$ 局的状态，那么答案为 $ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^nf[i][j]$ ，其中 $f[i][j]$ 为从 $(0,0)$ 状态变到 $(i,j)$ 状态的方案数，显然 $f[i][j]=C_{i+j}^j$

$\begin{array}{rcl}ans&=&\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^nC_{i+j}^j\\&=&\sum\limits_{i=0}^n(C_i^i+C_{i+1}^i+...+C_{i+n}^i)\\&=&\sum\limits_{i=0}^n(C_{i+1}^{i+1}+C_{i+1}^i+...+C_{i+n}^i)\\&=&\sum\limits_{i=0}^n C_{i+n+1}^{i+1}\\&=&C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+...+C_{2n+1}^n\\&=&C_{n+1}^{n+1}+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+...+C_{2n+1}^n-1\\&=&C_{2n+2}^{n+1}-1\end{array}$

用到恒等式 $C_i^j+C_i^{j+1}=C_{i+1}^{j+1}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=2000005;
#define mod 1000000007
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=2e6+2)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    return (ll)fact[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",(C(2*n+2,n+1)-1+mod)%mod);
    return 0;
}