CodeForces 217 D.Bitonix' Patrol（dfs+bitset）

最新推荐文章于 2024-12-01 03:34:23 发布

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本文介绍了一种解决特定计数问题的方法，通过分析序列元素与模数的关系，利用bitset进行状态压缩，实现高效的DFS搜索算法。针对给定的序列和模数，计算满足条件的序列数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个长度为 $t$ 的序列 $a_i$ ，问满足条件的 $b_i\in\{-1,0,1\}$ 序列个数使得 $m$ 不能整除 $\sum\limits_{i=1}^ta_ib_i$

Input

第一行三个整数 $n,m,t$ ，之后输入 $t$ 个整数 $a_i$ $(2\le n\le 1000,1\le m\le 120,1\le t\le 10000,1\le a_i\le 10^9)$

Output

输出满足条件的序列个数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

7 6 5
5 4 12 6 5

Sample Output

Solution

首先只需考虑 $a_i$ 模 $m$ 的余数，同余的两个数字不能同时出现（一个配 $-1$ 一个配 $1$ 其他配 $0$ 可知不合法），且 $x$ 和 $m-x$ 不能同时出现，那么对于超过 $m/2$ 的余数 $x$ ，我们只用考虑 $m-x$ 即可，余数集规模降到 $60$ ，假设当前有一个集合维护了不能出现的数字，那么当前步可以取的余数不能在这个集合中，我们用长度为 $60$ 的 $bitset$ 存到当前不能取的数字，然后直接 $dfs$ 加剪枝即可，假设当前要取的数字是 $k$ ， $bitset$ 为 $S$ ，那么 $S$ 中的第 $k$ 位和第 $m-k$ 不能是 $1$ ，取了 $k$ 之后，不能取的数字集变成三个集合的并：原先不能取的数字集，原先不能取的数字集中每个数字减 $k$ 得到的集合，原先不能取的数字集中每个数字加 $k$ 得到的集合，由于 $bitset$ 不自带循环左右移，所以可以将循环移动分成两块，以循环左移 $k$ 位为例： $(S<<k)|(S>>(m-k ))$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=123;
#define mod 1000000007
bitset<maxn>s[7];
int n,m,t,num[maxn],a[11];
int dfs(int cnt,int pos)//已经拿了cnt个邮箱，从体积为pos的邮箱开始抉择是否拿 
{
    int ans=1;
    for(int i=0;i<cnt;i++)ans=(ll)ans*num[a[i]]%mod;
    if(cnt<6)
    {
        for(int i=pos;i<=m/2;i++)
        {
            if(!num[i]||s[cnt][i]||s[cnt][m-i])continue; 
            a[cnt]=i;
            s[cnt+1]=s[cnt];
            s[cnt+1]|=s[cnt]<<i;
            s[cnt+1]|=s[cnt]>>i;
            s[cnt+1]|=s[cnt]<<(m-i);
            s[cnt+1]|=s[cnt]>>(m-i);
            ans+=dfs(cnt+1,i+1);
            if(ans>=mod)ans-=mod;
        }
    }
    return ans; 
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    while(t--)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        x%=m;
        x=min(x,m-x);
        num[x]++;
    }
    s[0][0]=1;
    printf("%d\n",dfs(0,1));
    return 0;
}