游戏开发中的矩阵

矩阵很多同学没有接触过，所以感觉很难，很复杂，其实只要学过矩阵的同学都知道，矩阵运算并不难。今天我们给大家讲讲游戏开发中的矩阵的运算。

1:矩阵是什么?

   矩阵是描述线性变换的一种数学工具,线性变换指的是使用一次函数从一个空间变换到另外一个空间。

例如在空间A中的一个2维向量（xa, ya）变换到空间B，使用一次线性函数变换后得(xb, yb)。

    xb = A*xa + B*ya + C;

    yb = M*xa + N*ya + D;

  上述变换中，xb 是由xa, ya 经过线性运算而得到得。如果xb = A*xa^2 + B*ya + C,这样就不是线性变换了。

   数学前辈们为了描述上面的线性变换，发明了矩阵,把上面的变换标记为:

 

 

  上面的变换，(xa, ya)通过矩阵变换到(xb, yb),用矩阵是如何变换的呢？我们实际就是把(xa, ya)*矩阵 = (xb, yb)。

2: 向量与矩阵, 矩阵与矩阵的乘法;

向量与矩阵乘法:

   按照上述的例子我们一起来计算一下，空间Va的向量(xa, ya), 变换到空间Vb的向量(xb, yb)

   (1): 扩展向量的维度为3维, (xa, ya)变成了(xa, ya, 1)

   (2): 计算(xa, ya, 1) * 矩阵

   【xa, ya, 1】 *  

 = 【(A*xa + B*ya + C*1), (M*xa+N*ya+D*1), xa*0+ya*0+1*1】

   

总结一下向量与矩阵的乘法规则:

      新向量的第i个元素，等于原来向量的每个元素与第i列矩阵的每个对应数据相乘后相加。由这个规则，我们可以得到向量与矩阵相乘向量的维度必须和矩阵的行数一样。

很多同学马上就会有疑问了，矩阵既然最后还是要结合元素计算，我干嘛还要用矩阵呢？直接算不就可以么？接下来矩阵得第二个妙处就在于每个线性变化都对应一个矩阵，我们可以把多次线性变换叠加起来，这样就可以减少运算的次数。比如我要把100个点，由V1空间，变换到v2空间，再变换到v3空间。V1到v2对应一个矩阵，v2到v3对应一个矩阵，我们可以把这两个矩阵变换叠加起来变成一个矩阵。100个点，每个点计算一次矩阵乘法即可得到新的点，而不用每个点计算2次矩阵乘法得到新的点。

如何把多个矩阵对应的多次线性变换叠加起来呢？这个就是矩阵与矩阵的乘法。例如

 

根据上面的规律，新矩阵的对应第i行第j列元素，我们叫做元素ij。矩阵变化的叠加就是矩阵乘法，矩阵乘法的计算规则如下：

A矩阵*B矩阵=C矩阵,  Cij = Ai0*Bj0 + Ai1*Bj1 + ….. ;即Cij为A的第i行与B的第j列的每项数据相乘后的和(即dot(Ai, Bj))。根据上面的规则，我们发现两个矩阵要能相乘必须要满足一个条件，就是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数,否者两个矩阵是无法相乘的。

3: 游戏开发中的缩放，旋转平移矩阵;

   游戏开发中常用的线性变换有缩放，平移, 旋转, 这个我们通常叫做transform。而这些变换叠加在一起，就是我们在游戏世界中摆放游戏物体，我们可以把每个物体的线性变换，叠加在一起，形成一个矩阵，然后我们再来做坐标变换。

   先来看平移矩阵，我们以2D为例,  向量(x, y)平移变换到新的空间,平移就是把x, y都加上一个常量。那么平移变换矩阵为

         

   (x, y, 1)*

= (x*1 + y * 0 + dx, x*0+y*1+dy, 0*x + 0*y + 1) = (x+dx, y + dy, 1);

           

   缩放矩阵:  向量(x, y)通过缩放，到新的空间

   (x, y, 1)*

 = (x*3 + y * 0 + 0, x*0+y*3+0, 0*x + 0*y + 1) = (3x, 3y, 1);

我们叠加在一起运算一下, 先缩放还是先平移，得到的结果不一样，先平移后缩放的结果是 (x, y, 1) 先平移dx, dy, 后缩放3倍，(3x+3*dx, 3y + 3*dy, 1), 先缩放后平移, 得到的结果是(3x+dx, 3y + dy, 1)。

我们反应到矩阵，先平移后缩放，平移矩阵*缩放矩阵，如下

:

这个矩阵叠加向量(x, y, 1)得到 (3x+3*dx, 3y + 3*dy, 1)。

同理，如果是先缩放后平移，缩放矩阵*平移矩阵，如下:

 

, 这个矩阵叠加向量(x, y, 1) 得到(3x+dx, 3y+dy, 1)

同样是两个矩阵，乘法的位置不一样，得到的结果可能不一样。

4: 3D游戏中的旋转矩阵，单位矩阵, 逆矩阵;

  平移缩放，大家都好理解了，旋转矩阵不那么直观，特别是3D的。我们以大家熟悉的欧拉旋转为例。

比如我们在3D里面先绕x轴旋转 a度，再绕y轴旋转b度，再绕z轴旋转c度。这个其实就是3个空间的变换，每次变换，都对应一个旋转矩阵，然后我们按照顺序把这三个矩阵叠加起来 Rx * Ry * Rz = R旋转。根据我们上面的分析，矩阵的位置不一样，得到的结果会不一样，所以每个游戏引擎的欧拉角旋转都会有一个固定的顺序来计算, 最终就得到一个旋转矩阵。

  

最后说几个比较特殊的矩阵，单位矩阵，就是乘以这个矩阵后不会发生任何改变，相当于没有变化。

逆矩阵: 矩阵A的反向矩阵叫A的逆矩阵即: A矩阵*A的逆矩阵=单位矩阵, 两个互为逆矩阵的叠加在一起，相当于没有变化。