【c++】求1-n的最小公倍数

最新推荐文章于 2024-08-06 11:20:48 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-06 11:20:48 发布 · 5.5k 阅读

11 ·

CC 4.0 BY-SA版权

algorithm-design 专栏收录该内容

21 篇文章

订阅专栏

本文介绍一种高效算法，用于计算1至n的所有整数的最小公倍数，并通过质因数分解的方式避免整数溢出问题。算法首先筛选出1至10000范围内的所有质数，然后对每个数进行质因数分解，记录每个质数的最大指数幂，最后将这些质数及其最大指数幂相乘得到最小公倍数。

要求实现

输入一个n （1 <= n <= 10000)
求能整除1-n的最小正整数，即最小公倍数
由于数可能比较大，输出结果mod987654321
eg.
输入：3
输出：6 (6是能整除1，2，3的最小正整数)

Hint:
我们知道两个数a,b的最小公倍数是 $\frac{a*b}{gcd(a,b)}$ ，但是由于这里求1到n的最小公倍数，采用这个方法的话，a*b将超出int的表示范围，导致溢出。

因此，我们考虑类似短除的做法，对1-n的每一个数进行分解质因数的方法求解。找出每个质数的最大次幂，相乘即可得最小公倍数。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

#define MOD 987654321
#define MAX 10001

/*
这个程序实现
输入一个n
求能整除1-n的最小正整数，即最小公倍数
由于数可能比较大，输出结果mod987654321 
eg.
输入：3
输出：6 (6是能整除1，2，3的最小正整数)

*/ 


int main() {
    bool prime[MAX];

    //找出1-10000的质数
    for (int i = 0; i < MAX; i++) {
        prime[i] = true;
    }
    for (int i = 2; i < MAX; i++) {
        if (!prime[i]) continue;
        for (int j = i+1; j < MAX; j++) {
            if (j%i == 0) prime[j] = false;
        }
    }
    int n;
    cin >> n;

    //分解质因数，找出最大对应最大幂
    int mi[MAX];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        mi[i] = 0;
    }
    int count = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int k = i;
        for (int j = 2; j <= n; j++) {
            if (!prime[j]) continue;
            count = 0;
            while (k%j == 0) {
                k = k/j;
                count++;
            }
            if (count > mi[j]) mi[j] = count;
            if (k == 0) break;
        }
    }

    //每个质数最大幂相乘，即为最小公倍数
    int ans = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!prime[i]) continue;
        for (int j = 0; j < mi[i]; j++) {
            ans = (ans*i)%MOD;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}