1到n,n个数的最小公倍数

本文介绍了一种高效算法,用于求解1至n(n<100)之间的所有整数的最小公倍数。通过将1*2*3*...*n化简为最小公倍数相乘的形式,利用数组保存乘积,从而解决大数问题。

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为什么1小时有60分钟,而不是100分钟呢?这是历史上的习惯导致。
但也并非纯粹的偶然:60是个优秀的数字,它的因子比较多。
事实上,它是1至6的每个数字的倍数。即1,2,3,4,5,6都是可以除尽60。

我们希望寻找到能除尽1至n的的每个数字的最小整数。

不要小看这个数字,它可能十分大,比如n=100, 则该数为:
69720375229712477164533808935312303556800

请编写程序,实现对用户输入的 n (n<100)求出1~n的最小公倍数。

例如:
用户输入:
6
程序输出:
60

用户输入:
10
程序输出:

2520

分析:

由于数可能很大,考虑用数组保存乘积。求1到n的最小公倍数,可以将1*2*3*...*n化简为最小公倍数相乘的形式。例如:1到6,1*2*3*4*5*6化简为,1*2*3*2*5*1 = 60;1到10,1*2*3*4*5*6*7*8*9*10化简为,1*2*3*2*5*1*7*2*3*1 = 2520。

代码如下:

#include <stdio.h>
int temp[100];//保存n由哪些数相乘
int a[50];//保存temp数组中各元素相乘的结果
int fun(int x,int n);
int main()
{
	int n,i,j,count = 0,tag = 0;//(n < 100)
	scanf("%d",&n);
	for (i = 1; i <= n ; i++)
	{
		temp[i - 1] = fun(i,i - 1);//将1*2*...*n化为最小公倍数相乘的形式
	}
	a[0] = 1;
	for (i = 0; i < n; i++)//保存乘积
	{
		if (temp[i] != 1)
		{
			for (j = 0; j <= count || tag; j++)//temp数组中每个元素与a数组中已有元素相乘
			{
				int t = a[j];
				a[j] = (t * temp[i] + tag) % 10;
				tag =  (t * temp[i] + tag) / 10;
				if (j > count)//更新乘积的长度
				{
					count = j;
				}
			}
		}
	}
	for (i = count; i >= 0; i--)//输出结果
	{
		printf("%d",a[i]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}
int fun(int x,int n)
{
	for (int i = 0; i < n && x != 1 && temp[i] != 0; i++)
	{
		if (x % temp[i] == 0)
		{
			x /= temp[i];
		}
	}
	return x;
}


### 辗转相除法求解多个整数最小公倍数 对于两个整数 \( a \) 和 \( b \),其最大公约数可以通过辗转相除法来获得,即 \( \text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a \% b) \)[^1]。而两个整数的最小公倍数可以由这两个数以及它们的最大公约数通过公式 \( \text{lcm}(a, b) = |a \times b| / \text{gcd}(a, b) \) 计算得出[^2]。 当扩展到三个或更多个整数时,最小公倍数的概念同样适用。为了找到一组整数的最小公倍数,可以从左至右依次取每一对相邻数字计算其最小公倍数,并将结果用于后续运算中的第一个数值。具体来说: 设有一组正整数 \( A_1,A_2,\ldots ,A_n \),则这 n 个数最小公倍数可定义为: \[ \text{lcm}(A_1,...,A_i)=\begin{cases} A_1 & i=1 \\ \text{lcm}(\text{lcm}(A_1,...,A_{i-1}),A_i)& 1<i\leqslant n \end{cases} \] 下面给出一段 C++ 实现代码片段,该程序接收用户输入的一系列整数并返回这些整数的最小公倍数。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 定义函数用于计算两个整数的最大公约数 int gcd(int m, int n){ while (n != 0){ int temp = m % n; m = n; n = temp; } return m; } // 使用之前定义好的GCD函数进一步构建LCM函数 long long lcm(long long m, long long n){ return abs(m * n) / gcd(m, n); } // 扩展lcm函数处理多于两个参数的情况 template<typename... Args> long long multi_lcm(long long first, Args... args){ return ((args == nullptr)?first:multi_lcm(lcm(first,args),args...)); } int main(){ int count; cout << "请输入要计算最小公倍数的数量:"; cin >> count; if(count<=0){cout<<"数量应大于零";return -1;} long long nums[count]; for(int i=0;i<count;++i){ cout << "请输入第" << i+1 << "个整数:"; cin>>nums[i]; } // 初始化最终的结果变量result为数组的第一个元素 long long result = nums[0]; // 遍历整个列表,逐步更新当前累积得到的最小公倍数 for(int j=1;j<count;++j){ result=lcm(result,nums[j]); } cout << "\n所给定整数们的最小公倍数是:" << result << endl; return 0; } ``` 此段代码实现了对任意数量整数最小公倍数的有效查找。注意这里使用了模板递归的方式简化了`multi_lcm`函数的设计;然而,在实际应用中可能并不推荐这样做,因为C++编译器可能会遇到难以解析过多重载版本的问题。因此,采用循环迭代的方法更为稳健可靠。
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